La loi des grands nombres

Pour bien comprendre la Loi des Grands Nombres, rafraîchissons-nous la mémoire sur quelques bases des probabilités.

• Expérience aléatoire : C'est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude, même si on la répète dans les mêmes conditions.
  • Exemples : Lancer un dé, tirer une carte d'un jeu, choisir au hasard une personne dans une foule.
• Univers des possibles ($\Omega$) : C'est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • Exemple pour un dé à six faces : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
  • Exemple pour Pile ou Face : $\Omega = \{\text{Pile, Face}\}$.
• Événement : C'est un sous-ensemble de l'univers des possibles. Autrement dit, c'est un ou plusieurs résultats spécifiques que l'on souhaite observer.
  • Exemple pour un dé : "Obtenir un nombre pair" est l'événement $A = \{2, 4, 6\}$.
  • Exemple pour Pile ou Face : "Obtenir Pile" est l'événement $P = \{\text{Pile}\}$.
• Probabilité d'un événement ($P(A)$) : C'est une mesure de la chance qu'un événement se produise. C'est un nombre entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%).
  • Si l'expérience est équiprobable (chaque résultat a la même chance de se produire), la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à } A}{\text{Nombre total de cas possibles}}$
  • Exemple pour un dé : $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$.
  • Exemple pour Pile ou Face : $P(\text{obtenir Pile}) = \frac{1}{2} = 0.5$.

Maintenant, parlons de la fréquence, une notion très liée aux probabilités mais qui en diffère.

• Définition de la fréquence : La fréquence d'un événement est la proportion de fois où cet événement s'est produit au cours d'une série d'expériences réalisées.
• Calcul de la fréquence observée ($f_n(A)$) : Si l'on réalise une expérience aléatoire $n$ fois et que l'événement $A$ se produit $k$ fois, la fréquence observée de $A$ est : $f_n(A) = \frac{\text{Nombre de réalisations de } A}{\text{Nombre total de répétitions}} = \frac{k}{n}$
  • Exemple : Vous lancez une pièce 10 fois et obtenez 6 fois Pile. La fréquence de Pile est $f_{10}(\text{Pile}) = \frac{6}{10} = 0.6$.
• Différence entre probabilité et fréquence :
  • La probabilité est une valeur théorique, souvent connue à l'avance (ex: $P(\text{Pile}) = 0.5$). Elle représente ce qui devrait se passer.
  • La fréquence est une valeur expérimentale, calculée après avoir réalisé l'expérience. Elle représente ce qui s'est réellement passé.
• Fluctuations des fréquences : Si vous lancez une pièce 10 fois, vous ne tomberez pas toujours sur 5 Pile et 5 Face. Vous pourriez avoir 6 Piles, 4 Piles, voire 10 Piles ! La fréquence observée peut beaucoup varier sur un petit nombre d'essais. C'est ce qu'on appelle les fluctuations d'échantillonnage.

C'est ici que l'idée centrale de la Loi des Grands Nombres commence à émerger :

• Stabilité des fréquences à long terme : Imaginez que vous continuez à lancer cette pièce, non pas 10 fois, mais 100 fois, puis 1000 fois, et enfin 10 000 fois. Ce que vous observeriez, c'est que la fréquence de "Pile" (le nombre de Piles divisé par le nombre total de lancers) se rapprocherait de plus en plus de la probabilité théorique de 0.5. Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence observée sera proche de la probabilité.
• Exemples concrets :
  • Lancers de dés : La probabilité de chaque face est $\frac{1}{6}$. Sur un petit nombre de lancers, les fréquences peuvent être très différentes. Mais sur 1000 lancers, la fréquence de chaque face sera très proche de $\frac{1}{6}$.
  • Pile ou Face : La probabilité d'obtenir Pile est 0.5. Sur un grand nombre de lancers, la fréquence de Pile sera proche de 0.5.
• Lien entre fréquence et probabilité : La Loi des Grands Nombres établit un lien fondamental entre ces deux concepts : elle nous dit que la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique à mesure que le nombre d'expériences augmente.
• Phénomène de régularisation : C'est l'idée que le hasard, sur un grand nombre de répétitions, tend à s'annuler et à faire apparaître une certaine régularité, une stabilité. Les "écarts" par rapport à la probabilité se compensent mutuellement. Plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence des événements observés tend à se stabiliser autour de leur probabilité théorique.

• Épreuve de Bernoulli : C'est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles :
  • Le "succès", souvent noté $S$, avec une probabilité $p$.
  • L'"échec", souvent noté $\bar{S}$, avec une probabilité $1-p$.
  • Exemple : Lancer une pièce (Succès = Pile, Échec = Face), la probabilité d'obtenir Pile est $p$.
  • Exemple : Vérifier si un produit est défectueux (Succès = défectueux, Échec = non défectueux).
• Schéma de Bernoulli : C'est la répétition identique et indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli.
  • "Identique" signifie que la probabilité $p$ du succès reste la même à chaque épreuve.
  • "Indépendante" signifie que le résultat d'une épreuve n'influence pas le résultat des autres épreuves.
  • Exemple : Lancer 10 fois une pièce de monnaie équilibrée. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli (pile ou face avec $p=0.5$), et les lancers sont indépendants.
• Loi binomiale $B(n,p)$ : Lorsque nous sommes dans un schéma de Bernoulli, nous nous intéressons souvent au nombre total de succès sur les $n$ répétitions. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale.
  • $X$ suit une loi $B(n,p)$, où :
    • $n$ est le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli.
    • $p$ est la probabilité de succès à chaque épreuve.
  • La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès sur $n$ épreuves est donnée par la formule : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.
  • Exemple : Si on lance une pièce 10 fois ($n=10$) et que la probabilité de Pile est $0.5$ ($p=0.5$), la variable $X$ = "nombre de Pile" suit une loi $B(10, 0.5)$.

La Loi des Grands Nombres parle de la fréquence. Comment la relier à ces notions ?

• Nombre de succès $X$ : Dans un schéma de Bernoulli de $n$ répétitions avec une probabilité de succès $p$, $X$ est la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où le succès a été observé. $X$ suit une loi $B(n,p)$.
• Fréquence des succès $F_n = \frac{X}{n}$ : C'est la variable aléatoire qui représente la fréquence observée du succès après $n$ répétitions. Elle est obtenue en divisant le nombre de succès $X$ par le nombre total de répétitions $n$.
  • C'est cette variable $F_n$ qui nous intéresse particulièrement pour la Loi des Grands Nombres.
• Espérance de $X$ : L'espérance d'une variable aléatoire, notée $E(X)$, est la valeur moyenne que l'on s'attend à obtenir si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Pour une loi binomiale $B(n,p)$, l'espérance est : $E(X) = n \times p$
  • Exemple : Pour 10 lancers de pièce ($n=10, p=0.5$), $E(X) = 10 \times 0.5 = 5$. On s'attend en moyenne à 5 Piles.
• Variance de $X$ : La variance, notée $V(X)$, mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance. Une grande variance signifie que les résultats sont très dispersés, une petite variance signifie qu'ils sont concentrés autour de l'espérance. Pour une loi binomiale $B(n,p)$ : $V(X) = n \times p \times (1-p)$

Maintenant, appliquons ces concepts à la variable aléatoire de la fréquence $F_n = \frac{X}{n}$.

• Espérance de $F_n$ : $E(F_n) = p$
  • Puisque $F_n = \frac{X}{n}$, on peut utiliser la propriété $E(aY) = aE(Y)$ pour une constante $a$.
  • $E(F_n) = E\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n} E(X) = \frac{1}{n} (n \times p) = p$.
  • Interprétation de l'espérance : L'espérance de la fréquence est égale à la probabilité théorique $p$. Cela signifie que la valeur moyenne attendue de la fréquence observée est exactement la probabilité du succès. C'est déjà une première indication de la "tendance" de la fréquence vers la probabilité.
• Variance de $F_n$ : $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}$
  • De même, en utilisant la propriété $V(aY) = a^2 V(Y)$ :
  • $V(F_n) = V\left(\frac{X}{n}\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 V(X) = \frac{1}{n^2} (n \times p \times (1-p)) = \frac{p(1-p)}{n}$.
• Interprétation de la variance :
  • La variance de la fréquence dépend de $p$, mais surtout de $n$.
  • Remarquez que $n$ est au dénominateur. Cela signifie que plus $n$ est grand, plus la variance de $F_n$ est petite.
  • Une petite variance indique que les valeurs de $F_n$ sont très concentrées autour de leur espérance, qui est $p$.
  • Plus le nombre d'expériences $n$ augmente, plus la fréquence observée $F_n$ est "serrée" autour de la probabilité $p$. C'est la confirmation mathématique de l'intuition que nous avions sur la stabilité des fréquences à long terme.

Il existe plusieurs formes de la Loi des Grands Nombres (faible, forte). Au lycée, nous nous concentrons sur la Loi faible des Grands Nombres, souvent appelée simplement la Loi des Grands Nombres.

• Convergence en probabilité : La Loi des Grands Nombres stipule que la fréquence observée $F_n$ d'un événement converge en probabilité vers la probabilité théorique $p$ de cet événement lorsque le nombre de répétitions $n$ tend vers l'infini.
• La fréquence $F_n$ tend vers $p$ : Cela signifie que plus $n$ est grand, plus il est probable que la fréquence $F_n$ soit proche de $p$.
• Pour $n$ grand : Lorsque le nombre d'expériences $n$ devient très grand, la fréquence observée $F_n$ de l'événement est "presque sûrement" très proche de sa probabilité $p$.
• Formalisation mathématique (sans démonstration) : Pour tout $\epsilon > 0$ (aussi petit que l'on veut), la probabilité que la différence entre $F_n$ et $p$ soit supérieure à $\epsilon$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini. $P(|F_n - p| > \epsilon) \xrightarrow{n \to \infty} 0$ En d'autres termes, la probabilité que la fréquence s'écarte significativement de la probabilité devient de plus en plus faible à mesure que $n$ augmente. C'est le fondement statistique de l'idée que l'on peut estimer une probabilité par une fréquence sur un grand nombre d'essais.

La Loi des Grands Nombres n'est pas juste une formule mathématique ; elle a des implications profondes et très pratiques.

• Stabilité des fréquences : Elle explique pourquoi les phénomènes aléatoires deviennent prévisibles sur le long terme. C'est la base de nombreuses activités humaines et scientifiques.
• Prédiction à long terme : Bien qu'on ne puisse pas prédire le résultat d'une seule expérience, on peut faire des prédictions fiables sur la proportion de succès sur un grand nombre d'expériences.
• Rôle de la taille de l'échantillon : La loi souligne l'importance d'avoir un grand nombre de répétitions (un grand "échantillon") pour obtenir une estimation fiable de la probabilité. Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise.
• Applications concrètes :
  • Assurances : Les compagnies d'assurance ne savent pas qui va avoir un accident, mais la Loi des Grands Nombres leur permet de prédire avec une bonne précision le nombre total d'accidents sur un grand nombre d'assurés, et ainsi de fixer les primes.
  • Sondages d'opinion : Pour estimer la proportion de personnes ayant une opinion donnée, on interroge un "grand" échantillon de la population. La fréquence observée dans l'échantillon est alors une bonne estimation de la proportion réelle dans la population.

Il est crucial de comprendre ce que la Loi des Grands Nombres ne dit PAS pour éviter des erreurs courantes.

• La loi ne prédit pas les événements individuels : Elle ne dit absolument rien sur le résultat du prochain lancer de pièce. Elle ne garantit pas 50% de Pile sur 2 lancers. Elle ne s'applique qu'à la moyenne sur un grand nombre d'essais.
• Erreur du joueur (Gambler's fallacy) : C'est une erreur très courante. Si une pièce est tombée 5 fois de suite sur Pile, on pourrait penser que le prochain lancer a une plus grande chance d'être Face pour "rétablir l'équilibre". C'est faux ! Chaque lancer est indépendant, et la probabilité de Face reste 0.5. La Loi des Grands Nombres ne corrige pas les écarts passés.
• Pas de "rattrapage" des écarts : Les écarts observés sur un petit nombre d'essais ne sont pas "compensés" par la suite. C'est simplement que leur influence relative diminue à mesure que le nombre total d'essais augmente. Si vous avez 6 Piles sur 10 lancers (fréquence 0.6), et ensuite 494 Piles sur 990 lancers supplémentaires, vous aurez 500 Piles sur 1000 lancers (fréquence 0.5). Les 6 Piles initiaux ne sont pas "rattrapés" par un excès de Face, mais leur poids est dilué par les 990 autres lancers.
• Nécessité d'un grand nombre de répétitions : La convergence n'est garantie que si $n$ est "suffisamment grand". La rapidité de cette convergence dépend de la probabilité $p$. La Loi des Grands Nombres est une loi asymptotique (qui concerne le comportement à l'infini).

Les simulations sont un excellent moyen d'illustrer la Loi des Grands Nombres.

• Utilisation d'un tableur ou d'un logiciel de programmation :
  • Avec un tableur (Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc) : On peut utiliser la fonction ALEA() ou RAND() pour générer un nombre aléatoire entre 0 et 1. On peut simuler un Pile si le nombre est $<0.5$ et Face si $\geq 0.5$.
  • Avec un logiciel de programmation (Python, R, Javascript) : Les bibliothèques statistiques offrent des fonctions pour générer des nombres aléatoires selon des lois de probabilité spécifiques (ex: random.random() en Python).
• Génération de nombres aléatoires : Pour simuler une épreuve de Bernoulli avec $p=0.5$ (ex: Pile ou Face) :
  • Générer un nombre aléatoire $r$ entre 0 et 1.
  • Si $r < 0.5$, on considère que c'est un "succès" (ex: Pile).
  • Si $r \geq 0.5$, on considère que c'est un "échec" (ex: Face).
• Calcul des fréquences cumulées :
  • Répéter l'expérience $n$ fois (ex: 1000 lancers).
  • À chaque étape $k$ (après $k$ lancers), calculer la fréquence de succès observée jusqu'à présent : $f_k = \frac{\text{nombre de succès après } k \text{ lancers}}{k}$.
• Visualisation graphique de la convergence :
  • Tracer un graphique où l'axe des abscisses représente le nombre de répétitions $n$, et l'axe des ordonnées représente la fréquence observée $f_n$.
  • Vous verrez que pour les petites valeurs de $n$, la courbe de la fréquence fluctue beaucoup. Mais à mesure que $n$ augmente, la courbe se stabilise et se rapproche de la ligne horizontale représentant la probabilité théorique $p$. Cette stabilisation est la manifestation visuelle de la Loi des Grands Nombres.

La Loi des Grands Nombres est omniprésente dans notre quotidien et dans de nombreux domaines scientifiques.

• Sondages d'opinion : Comme mentionné, les instituts de sondage interrogent un échantillon de personnes pour estimer la proportion de la population qui votera pour un candidat, qui approuve une politique, etc. La fiabilité de ces sondages repose sur la Loi des Grands Nombres et la taille de l'échantillon.
• Assurances : Les assureurs calculent les primes en se basant sur la fréquence des sinistres (accidents de voiture, incendies, maladies) observée sur des millions de contrats. Ils ne savent pas si VOUS aurez un accident, mais ils savent quelle proportion de LEURS ASSURÉS en aura un.
• Contrôle qualité industriel : Une usine qui fabrique des milliers de pièces peut estimer le taux de pièces défectueuses en testant un échantillon aléatoire. Si l'échantillon est grand, la fréquence de défectueux dans l'échantillon sera proche du taux réel de défectueux dans toute la production.
• Biologie (fréquence génique) : En génétique des populations, les fréquences d'allèles ou de génotypes dans une population sont estimées en observant un grand nombre d'individus. La fréquence observée est alors considérée comme une bonne estimation de la fréquence réelle dans la population.

La Loi des Grands Nombres est au cœur de la théorie de l'échantillonnage statistique.

• Échantillon représentatif : Pour qu'une fréquence observée dans un échantillon soit une bonne estimation de la probabilité réelle, il est crucial que l'échantillon soit représentatif de la population. Cela signifie qu'il doit être choisi aléatoirement et sans biais.
• Estimation d'une proportion : Lorsque nous calculons la fréquence d'un certain caractère dans un échantillon (par exemple, la proportion de personnes qui préfèrent le chocolat noir dans un groupe de 100 personnes), nous utilisons cette fréquence comme une estimation de la proportion réelle dans l'ensemble de la population. La Loi des Grands Nombres nous dit que cette estimation sera d'autant plus fiable que l'échantillon est grand.
• Intervalle de fluctuation (introduction) : Au-delà de la simple estimation, la Loi des Grands Nombres nous permet de construire des intervalles de fluctuation ou de confiance. Ces intervalles donnent une fourchette de valeurs autour de la probabilité théorique $p$ (ou de la fréquence observée $F_n$) dans laquelle on s'attend à ce que la fréquence observée (ou la probabilité réelle) se situe avec une certaine probabilité (par exemple 95%).
  • Pour un grand $n$, la fréquence $F_n$ se situe dans un intervalle de fluctuation centré sur $p$ avec une forte probabilité. La taille de cet intervalle diminue lorsque $n$ augmente, ce qui indique une plus grande précision de l'estimation.
• Précision de l'estimation : La Loi des Grands Nombres nous montre que pour augmenter la précision de notre estimation (c'est-à-dire pour que notre fréquence observée soit plus proche de la probabilité réelle), il faut augmenter la taille de l'échantillon $n$. C'est pourquoi les sondages nationaux interrogent des milliers de personnes, et non seulement quelques dizaines.