Le calcul intégral

Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ telle que pour tout $x$ dans $I$, $F'(x) = f(x)$. En d'autres termes, si vous dérivez $F$, vous retrouvez $f$.

Exemple : Si $f(x) = 2x$, alors $F(x) = x^2$ est une primitive car $(x^2)' = 2x$.

Une fonction continue sur un intervalle $I$ admet toujours des primitives sur cet intervalle.

Existence et unicité à une constante près : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ s'écrit sous la forme $G(x) = F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle. Cela signifie qu'une fonction admet une infinité de primitives, différant toutes d'une constante.

Notation $F(x) + C$ : Pour représenter l'ensemble des primitives d'une fonction $f$, on utilise la notation $F(x) + C$, où $F(x)$ est une primitive particulière et $C \in \mathbb{R}$.

Exemple : Les primitives de $f(x) = 2x$ sont $x^2 + C$.

Il est essentiel de connaître les primitives des fonctions de base. Elles sont souvent le "sens inverse" des formules de dérivation.

Primitives des fonctions puissances : Pour $f(x) = x^n$ avec $n \neq -1$, la primitive est $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Exemple : Primitive de $x^3$ est $\frac{x^4}{4} + C$. Primitive de $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ est $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C$.

Primitives des fonctions exponentielles : Pour $f(x) = e^x$, la primitive est $F(x) = e^x + C$. C'est une fonction très simple à intégrer !

Primitives des fonctions trigonométriques (sin, cos) : Pour $f(x) = \cos(x)$, la primitive est $F(x) = \sin(x) + C$. Pour $f(x) = \sin(x)$, la primitive est $F(x) = -\cos(x) + C$. Attention aux signes négatifs avec $\sin(x)$ et $\cos(x)$ !

Les primitives respectent les opérations de somme et de produit par une constante, tout comme les dérivées. C'est la propriété de linéarité.

Primitive d'une somme de fonctions : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ est une primitive de $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$. En notation : $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$. Exemple : Une primitive de $f(x) = x^2 + e^x$ est $\frac{x^3}{3} + e^x + C$.

Primitive d'un produit par une constante : Si $F$ est une primitive de $f$ et $k$ est une constante réelle, alors $kF$ est une primitive de $kf$. En notation : $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$. Exemple : Une primitive de $f(x) = 5x^3$ est $5 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{5x^4}{4} + C$.

Application aux fonctions polynomiales : Ces règles sont très utiles pour trouver les primitives des polynômes. Exemple : Trouver une primitive de $P(x) = 3x^2 - 4x + 7$. $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C$ $F(x) = x^3 - 2x^2 + 7x + C$.

L'une des motivations historiques et des interprétations les plus intuitives de l'intégrale est le calcul de l'aire. Pour une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a, b]$, l'intégrale de $f$ sur cet intervalle représente l'aire de la région délimitée par :

• la courbe représentative de $f$ ($y = f(x)$)
• l'axe des abscisses ($y = 0$)
• les droites verticales $x = a$ et $x = b$.

On parle de l'aire sous la courbe.

Fonction continue et positive : La condition que la fonction soit positive est cruciale pour que l'intégrale corresponde directement à une aire géométrique. Si la fonction prend des valeurs négatives, l'intégrale représente une "aire algébrique" (voir plus tard).

Unité d'aire (u.a.) : L'aire est exprimée en unités d'aire. Si les axes sont gradués en centimètres, l'unité d'aire est le $\text{cm}^2$. Il est important de toujours préciser l'unité.

L'intégrale définie est une généralisation de la notion de somme.

Sommes de Riemann (approche intuitive) : L'idée est d'approximer l'aire sous la courbe en divisant l'intervalle $[a, b]$ en petits sous-intervalles. Sur chaque sous-intervalle, on construit un rectangle dont la hauteur est la valeur de la fonction (à gauche, à droite, ou au milieu du sous-intervalle). La somme des aires de ces rectangles est une somme de Riemann. Plus les sous-intervalles sont petits (plus il y a de rectangles), plus l'approximation de l'aire est précise. L'intégrale est la limite de ces sommes de Riemann lorsque la largeur des sous-intervalles tend vers zéro.

Notation de l'intégrale définie : L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est notée : $\int_{a}^{b} f(x) dx$

• $\int$ est le symbole de l'intégrale (un "S" allongé pour "somme").
• $a$ est la borne inférieure d'intégration.
• $b$ est la borne supérieure d'intégration.
• $f(x)$ est la fonction à intégrer, appelée intégrande.
• $dx$ indique que l'intégration se fait par rapport à la variable $x$.

L'intégrale définie possède plusieurs propriétés importantes :

Linéarité de l'intégrale :

• $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$
• $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$ (où $k$ est une constante réelle)

Relation de Chasles : Pour tout $c$ entre $a$ et $b$ (ou même en dehors), on a : $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ Cette propriété est très utile pour découper un intervalle d'intégration ou pour gérer des fonctions définies par morceaux.

Convention : $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$ (l'aire d'une "ligne" est nulle). Convention : $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$. Si on inverse les bornes, l'intégrale change de signe.

Positivité et croissance de l'intégrale :

• Positivité : Si $f(x) \ge 0$ sur $[a, b]$ avec $a \le b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$.
• Croissance : Si $f(x) \le g(x)$ sur $[a, b]$ avec $a \le b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$. Ces propriétés sont fondamentales pour l'encadrement d'intégrales.

Définition de la fonction aire : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tout $a \in I$, on définit la fonction $F_a$ pour $x \in I$ par : $F_a(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ Cette fonction $F_a(x)$ représente l'aire (algébrique) sous la courbe de $f$ entre $a$ et $x$.

Dérivée de la fonction aire : Le Théorème Fondamental de l'Analyse stipule que la fonction $F_a(x)$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$ : $F_a'(x) = f(x)$ Cela signifie que la fonction $F_a(x)$ est une primitive de $f(x)$.

Lien entre intégrale et primitive : Ce théorème établit que le processus d'intégration est l'inverse de la dérivation. Toute fonction continue admet des primitives, et ces primitives peuvent être exprimées sous forme d'intégrales. L'intégrale définie peut être calculée en utilisant n'importe quelle primitive de la fonction.

Grâce au Théorème Fondamental de l'Analyse, le calcul d'une intégrale définie devient simple si l'on connaît une primitive de la fonction.

Utilisation des primitives pour le calcul : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Cette formule est la pierre angulaire du calcul intégral pratique.

Notation $F(b) - F(a)$ : La notation $[F(x)]_{a}^{b}$ est une abréviation pour $F(b) - F(a)$.

Exemples de calculs :

1. Calculer $\int_{1}^{2} x^2 dx$. Une primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$. $\int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

2. Calculer $\int_{0}^{\pi} \cos(x) dx$. Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$. $\int_{0}^{\pi} \cos(x) dx = [\sin(x)]_{0}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$. (L'aire algébrique est nulle car la courbe est positive puis négative sur cet intervalle, se compensant).

3. Calculer $\int_{0}^{1} e^{2x} dx$. Une primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$. $\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

La valeur moyenne d'une fonction est une application importante de l'intégrale.

Définition de la valeur moyenne : Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ avec $a \neq b$, la valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle, notée $\bar{f}$ ou $\mu$, est donnée par la formule : $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Interprétation graphique : Si $f$ est positive, la valeur moyenne $\bar{f}$ est la hauteur d'un rectangle de base $(b-a)$ qui aurait la même aire que l'aire sous la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$. C'est une sorte de "hauteur moyenne" de la fonction.

Calcul de la valeur moyenne :

1. Calculer l'intégrale de la fonction sur l'intervalle.
2. Diviser le résultat par la longueur de l'intervalle $(b-a)$.

Exemple : Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[1, 2]$. On a déjà calculé $\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{7}{3}$. La longueur de l'intervalle est $2 - 1 = 1$. $\bar{f} = \frac{1}{2-1} \int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}$.

L'intégration par parties (IPP) est une technique dérivée de la formule de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. En intégrant les deux côtés : $\int (uv)' dx = \int u'v dx + \int uv' dx$. On obtient $uv = \int u'v dx + \int uv' dx$.

Formule d'intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x) v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ Ou pour les primitives : $\int u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx$

Choix de $u$ et $v'$ : Le succès de l'IPP dépend du bon choix de $u(x)$ et $v'(x)$. L'objectif est que $\int u'(x)v(x) dx$ soit plus facile à calculer que l'intégrale de départ.

• Choisissez $v'(x)$ comme une fonction dont la primitive $v(x)$ est facile à trouver.
• Choisissez $u(x)$ comme une fonction qui se simplifie par dérivation $u'(x)$.
• Mnémotechnique (LIATE/APET) : Pour le choix de $u$, privilégiez dans cet ordre : Logarithmes, Inverses trigonométriques, Algébriques (polynômes), Trigonométriques, Exponentielles.

Applications courantes :

• $\int x \ln(x) dx$ : On pose $u(x) = \ln(x)$ (logarithme) et $v'(x) = x$ (algébrique).
• $\int x e^x dx$ : On pose $u(x) = x$ (algébrique) et $v'(x) = e^x$ (exponentielle).
• $\int \ln(x) dx$ : On pose $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$. (Oui, 1 est une fonction !)

Exemple : Calculer $\int x e^x dx$. On pose $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$. On pose $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$. $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$.

Le changement de variable est une technique puissante qui simplifie une intégrale en la transformant en une nouvelle intégrale avec une nouvelle variable. C'est l'inverse de la dérivation de fonctions composées.

Identification d'une forme $u'f(u)$ : Beaucoup d'intégrales peuvent être ramenées à la forme $\int u'(x) f(u(x)) dx$. Si on pose $t = u(x)$, alors $dt = u'(x) dx$. L'intégrale devient $\int f(t) dt$, qui est souvent plus facile à calculer.

Changement de variable pour simplifier : La méthode consiste à :

1. Choisir une substitution $t = g(x)$.
2. Calculer $dt = g'(x) dx$.
3. Remplacer $x$ par $t$ dans l'intégrande et $dx$ par $dt/g'(x)$.
4. Ajuster les bornes d'intégration si c'est une intégrale définie. Si $x=a$, alors $t=g(a)$. Si $x=b$, alors $t=g(b)$.

Exemple : Calculer $\int_{0}^{1} x(x^2+1)^3 dx$. Posons $t = x^2+1$. Alors $dt = 2x dx$, ce qui signifie $x dx = \frac{1}{2} dt$. Changeons les bornes : Si $x=0$, $t = 0^2+1 = 1$. Si $x=1$, $t = 1^2+1 = 2$. L'intégrale devient : $\int_{1}^{2} t^3 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} t^3 dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8}$.

La connaissance des dérivées de fonctions composées permet de retrouver rapidement des primitives.

Primitives de $u'e^u$ : Si $f(x) = u'(x) e^{u(x)}$, alors une primitive est $F(x) = e^{u(x)} + C$. Exemple : Primitive de $2x e^{x^2}$. Ici $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. La primitive est $e^{x^2} + C$.

Primitives de $u'/u$ : Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, alors une primitive est $F(x) = \ln(|u(x)|) + C$. Exemple : Primitive de $\frac{2x}{x^2+1}$. Ici $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. La primitive est $\ln(x^2+1) + C$. (Note : $x^2+1$ est toujours positif, donc pas besoin de valeur absolue).

Primitives de $u'u^n$ : Si $f(x) = u'(x) [u(x)]^n$ avec $n \neq -1$, alors une primitive est $F(x) = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. Exemple : Primitive de $3x^2(x^3+5)^4$. Ici $u(x) = x^3+5$, donc $u'(x) = 3x^2$. La primitive est $\frac{(x^3+5)^5}{5} + C$.

Ces formes sont des cas particuliers de la méthode de changement de variable, mais elles sont tellement courantes qu'il est utile de les reconnaître directement.

L'interprétation géométrique de l'intégrale est très utile pour calculer des aires non triviales.

Aire entre deux courbes : Si $f(x) \ge g(x)$ sur un intervalle $[a, b]$, l'aire du domaine délimité par les courbes de $f$, $g$ et les droites $x=a$, $x=b$ est donnée par : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ Il est crucial de déterminer quelle fonction est "au-dessus" de l'autre sur l'intervalle considéré. Si les courbes se croisent, il faut découper l'intervalle.

Aires de domaines délimités par des axes : C'est le cas simple où l'une des fonctions est l'axe des abscisses ($g(x) = 0$). Si la fonction $f(x)$ est négative sur $[a, b]$, l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera négative. L'aire géométrique sera alors $-\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

Découpage en sous-domaines : Si la relation d'ordre entre les fonctions change, ou si la fonction change de signe, il faut découper l'intervalle d'intégration en plusieurs sous-intervalles et traiter chaque partie séparément. Exemple : Pour l'aire entre $f(x)$ et $g(x)$ où $f(x) \ge g(x)$ sur $[a, c]$ et $g(x) \ge f(x)$ sur $[c, b]$ : $\mathcal{A} = \int_{a}^{c} (f(x) - g(x)) dx + \int_{c}^{b} (g(x) - f(x)) dx$. Ou plus généralement : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$.

Bien que le calcul de volumes ne soit pas au programme de Terminale générale, il est important de savoir que l'intégrale est l'outil fondamental pour cela.

Principe de Cavalieri (mention) : Ce principe stipule que si deux solides ont la même hauteur et si les sections transversales à la même hauteur ont la même aire, alors les solides ont le même volume. L'intégrale permet de "sommer" ces aires de sections.

Volumes de solides de révolution (mention) : Un solide de révolution est un solide obtenu en faisant tourner une courbe autour d'un axe. Son volume peut être calculé en intégrant l'aire de disques ou d'anneaux minces. Par exemple, le volume d'un solide de révolution autour de l'axe des abscisses, pour une fonction $f(x)$ sur $[a, b]$, est donné par $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

Limites du programme : Ces notions sont généralement abordées en études supérieures. Pour le baccalauréat, concentrez-vous sur les aires planes.

L'intégration est indispensable en probabilités continues.

Fonctions de densité de probabilité : Pour une variable aléatoire continue $X$, sa probabilité est décrite par une fonction de densité de probabilité $f(x)$. Cette fonction est positive et son intégrale sur tout $\mathbb{R}$ (ou son domaine de définition) vaut 1 : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$

Calcul de probabilités : La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur dans un intervalle $[a, b]$ est donnée par l'intégrale de sa fonction de densité sur cet intervalle : $P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$ Cette probabilité correspond à l'aire sous la courbe de la fonction de densité entre $a$ et $b$.

Espérance mathématique : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $X$, notée $E(X)$, représente sa valeur moyenne "attendue". Elle est calculée par : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$ Pour des distributions bornées, les bornes de l'intégrale sont celles du domaine de définition de $X$.

Exemple : Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi uniforme sur $[0, 10]$, la fonction de densité est $f(x) = \frac{1}{10}$ pour $x \in [0, 10]$ et $0$ ailleurs.

• $P(2 \le X \le 5) = \int_{2}^{5} \frac{1}{10} dx = \left[ \frac{x}{10} \right]_{2}^{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$.
• $E(X) = \int_{0}^{10} x \cdot \frac{1}{10} dx = \frac{1}{10} \int_{0}^{10} x dx = \frac{1}{10} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{10} = \frac{1}{10} \left( \frac{10^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{10} \cdot \frac{100}{2} = \frac{1}{10} \cdot 50 = 5$.