Le produit scalaire

Soient deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On note $(\vec{u}, \vec{v})$ l'angle non orienté entre ces deux vecteurs, compris entre $0$ et $\pi$ radians (ou $0^\circ$ et $180^\circ$).

Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est défini par la formule : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ où $||\vec{u}||$ et $||\vec{v}||$ représentent les normes (longueurs) des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ respectivement.

Si l'un des vecteurs est nul, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Une autre définition géométrique utilise la projection orthogonale : Soient $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OB}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OA} \cdot \vec{OH}$.

• Si $\vec{OA}$ et $\vec{OH}$ sont de même sens, $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{OA}|| \times ||\vec{OH}||$.
• Si $\vec{OA}$ et $\vec{OH}$ sont de sens opposés, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{OA}|| \times ||\vec{OH}||$.

Cette définition est particulièrement utile pour les calculs géométriques et pour comprendre intuitivement le produit scalaire.

Points clés :

• Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
• Il dépend des longueurs des vecteurs et de l'angle entre eux.
• Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens, $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$.
• Si les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés, $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||$.
• Si les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires), $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0$, donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. C'est une propriété fondamentale !

Le produit scalaire possède plusieurs propriétés importantes qui le rendent facile à manipuler :

1. Symétrie (ou commutativité) : L'ordre des vecteurs n'importe pas. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

2. Bilinéarité : Le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses arguments.

   • Linéarité par rapport au premier vecteur : Pour tout réel $k$ et tous vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ $(\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{w} \cdot \vec{v}$
   • Linéarité par rapport au second vecteur : Par symétrie, cela implique aussi : $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ Ces propriétés combinées permettent de développer des expressions comme $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

3. Positivité (ou produit scalaire d'un vecteur par lui-même) : Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est appelé carré scalaire et est toujours positif ou nul. $\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2$ Ceci découle de la définition, car l'angle d'un vecteur avec lui-même est $0$, et $\cos(0) = 1$. Ainsi, $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u}^2}$.

4. Non-dégénérescence : $\vec{u} \cdot \vec{u} = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}$ C'est-à-dire que le carré scalaire est nul si et seulement si le vecteur est le vecteur nul.

Ces propriétés sont essentielles pour les calculs et démonstrations. Par exemple, elles permettent d'établir les identités remarquables vectorielles :

• $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
• $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2$
• $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2$

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ du plan, ou $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ dans l'espace, les calculs de produit scalaire sont simplifiés.

Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

• Dans le plan : $\vec{u}(x_u; y_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v)$.
• Dans l'espace : $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$.

Le produit scalaire est donné par la formule :

• Dans le plan : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$
• Dans l'espace : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$

Cette formule est extrêmement pratique car elle permet de calculer le produit scalaire sans connaître les normes ou l'angle, juste à partir des coordonnées des vecteurs.

Rappel important : Cette formule n'est valable QUE dans un repère orthonormé. Si le repère n'est pas orthonormé, il faut revenir à la définition géométrique ou changer de repère.

Exemple pratique : Soient $\vec{u}(2; 3)$ et $\vec{v}(-1; 4)$ dans un repère orthonormé. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10$.

Pour le carré scalaire : $\vec{u}^2 = x_u^2 + y_u^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Donc $||\vec{u}|| = \sqrt{13}$.

1. Norme d'un vecteur (longueur) : Comme vu précédemment, $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u}^2} = \sqrt{x_u^2 + y_u^2}$ (dans le plan) ou $\sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$ (dans l'espace). C'est la distance entre l'origine et le point représentant le vecteur si son origine est à l'origine du repère.

2. Distance entre deux points : Soient $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A; y_B - y_A)$. La distance $AB$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$ : $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ Cette formule est la généralisation du théorème de Pythagore.

3. Angle entre deux vecteurs : À partir de la définition géométrique $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$, on peut isoler le cosinus de l'angle : $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}$ Une fois $\cos(\vec{u}, \vec{v})$ calculé, on peut trouver l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ à l'aide de la fonction arccos. Ceci est très utile pour déterminer les angles d'un triangle connaissant les coordonnées de ses sommets.

Attention : L'angle est unique et est toujours compris entre $0$ et $\pi$ (ou $0^\circ$ et $180^\circ$).

4. Condition d'orthogonalité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ C'est une condition nécessaire et suffisante.

L'orthogonalité est une application majeure du produit scalaire.

• Vecteurs orthogonaux : Comme vu ci-dessus, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

  • Exemple : $\vec{u}(2; -1)$ et $\vec{v}(1; 2)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0$. Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

• Droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Soit $d_1$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v}$. $d_1 \perp d_2 \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

• Vecteur normal à une droite : Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$. Si une droite $d$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, alors le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est un vecteur normal à $d$. De même, si $\vec{u}(x;y)$ est un vecteur directeur de la droite, alors $\vec{n}(y;-x)$ ou $\vec{n}(-y;x)$ est un vecteur normal à la droite. L'utilisation des vecteurs normaux simplifie grandement l'établissement des équations de droites.

Ces deux formules sont des généralisations du théorème de Pythagore et sont très utiles pour les calculs dans les triangles quelconques.

1. Théorème d'Al-Kashi (ou Loi des cosinus) : Dans un triangle $ABC$, avec les notations usuelles ($a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), on a : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A})$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\hat{B})$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\hat{C})$ Ce théorème peut être démontré en utilisant le produit scalaire : $a^2 = BC^2 = ||\vec{BC}||^2 = ||\vec{AC} - \vec{AB}||^2 = ||\vec{AB} - \vec{AC}||^2$ (en partant du même point) $a^2 = (\vec{AB} - \vec{AC})^2 = \vec{AB}^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC}^2$ $a^2 = ||\vec{AB}||^2 + ||\vec{AC}||^2 - 2||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\vec{AB}, \vec{AC})$ $a^2 = c^2 + b^2 - 2bc \cos(\hat{A})$. Il permet de calculer une longueur de côté si on connaît deux côtés et l'angle entre eux, ou un angle si on connaît les trois côtés.

2. Formule de la médiane : Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$. La médiane issue de $A$ est le segment $[AI]$. La formule de la médiane relie la longueur de la médiane aux longueurs des côtés du triangle : $AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$ Démonstration par produit scalaire : $AB^2 = ||\vec{AB}||^2 = ||\vec{AI} + \vec{IB}||^2 = \vec{AI}^2 + 2\vec{AI} \cdot \vec{IB} + \vec{IB}^2$ $AC^2 = ||\vec{AC}||^2 = ||\vec{AI} + \vec{IC}||^2 = \vec{AI}^2 + 2\vec{AI} \cdot \vec{IC} + \vec{IC}^2$ Comme $I$ est le milieu de $[BC]$, $\vec{IB} = -\vec{IC}$. Donc $\vec{IB}^2 = \vec{IC}^2 = (\frac{BC}{2})^2 = \frac{BC^2}{4}$. En additionnant les deux expressions : $AB^2 + AC^2 = 2\vec{AI}^2 + 2\vec{AI} \cdot (\vec{IB} + \vec{IC}) + 2\vec{IB}^2$ Comme $\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$, on obtient : $AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$. Cette formule est utile pour calculer la longueur d'une médiane ou pour des problèmes de lieux géométriques.

Une droite dans le plan peut être définie par un point et un vecteur normal.

Soit une droite $D$ passant par un point $A(x_A; y_A)$ et admettant un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$. Pour tout point $M(x; y)$ appartenant à la droite $D$, le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$. Donc, $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x - x_A; y - y_A)$. L'équation s'écrit alors : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$ En développant, on obtient l'équation cartésienne de la droite $D$ : $ax + by + c = 0$ où $c = -ax_A - by_A$.

Réciproquement : Toute équation de la forme $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls) est l'équation d'une droite. Le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est un vecteur normal à cette droite.

Cas particuliers :

• Si $a=0$, l'équation est $by+c=0$, soit $y = -c/b$. C'est une droite horizontale. Le vecteur normal est $\vec{n}(0; b)$, un vecteur vertical.
• Si $b=0$, l'équation est $ax+c=0$, soit $x = -c/a$. C'est une droite verticale. Le vecteur normal est $\vec{n}(a; 0)$, un vecteur horizontal.

Le produit scalaire permet également de définir l'équation d'un cercle.

1. Définition du cercle : Un cercle est l'ensemble des points $M$ situés à une distance $R$ (rayon) d'un point fixe $C$ (centre). Soit $C(a; b)$ le centre du cercle et $R$ son rayon. Un point $M(x; y)$ appartient au cercle si et seulement si $CM = R$. En utilisant la formule de la distance : $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = R$ En élevant au carré, on obtient l'équation canonique du cercle : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

2. Forme développée : En développant l'équation canonique, on obtient l'équation cartésienne développée : $(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) = R^2$ $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - R^2 = 0$ Cette forme est de type $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Pour qu'une telle équation représente un cercle, il faut que le rayon $R^2 = a^2 + b^2 - F$ soit positif.

Une propriété géométrique fondamentale du cercle est que tout triangle inscrit dans un cercle ayant un de ses côtés pour diamètre est un triangle rectangle. Réciproquement, si un triangle est rectangle, son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.

Soient $A$ et $B$ deux points. Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. Cela signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont orthogonaux. Donc, pour tout point $M(x; y)$ sur le cercle de diamètre $[AB]$ : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors $\vec{MA}(x_A - x; y_A - y)$ et $\vec{MB}(x_B - x; y_B - y)$. L'équation du cercle est alors : $(x_A - x)(x_B - x) + (y_A - y)(y_B - y) = 0$ C'est une méthode très élégante pour trouver l'équation d'un cercle connaissant les extrémités de son diamètre.

Exemple : Soit $A(1; 2)$ et $B(5; 4)$. $\vec{MA}(1-x; 2-y)$ et $\vec{MB}(5-x; 4-y)$. $(1-x)(5-x) + (2-y)(4-y) = 0$ $5 - x - 5x + x^2 + 8 - 2y - 4y + y^2 = 0$ $x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0$. C'est l'équation du cercle de diamètre $[AB]$.

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, chaque point $M$ a trois coordonnées $(x; y; z)$ et chaque vecteur $\vec{u}$ a trois coordonnées $(x_u; y_u; z_u)$.

1. Définition géométrique : Elle reste la même : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ où l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ est toujours l'angle non orienté entre les deux vecteurs.

2. Formule analytique : Pour $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ Cette formule est la plus utilisée en pratique dans l'espace, à condition d'être dans un repère orthonormé.

3. Norme d'un vecteur et distance entre deux points :

   • $||\vec{u}|| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$
   • La distance entre $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ est : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

4. Propriétés conservées : Toutes les propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité, positivité, non-dégénérescence) restent valables dans l'espace.

Le concept d'orthogonalité est encore plus riche dans l'espace.

1. Vecteurs orthogonaux : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. La condition reste la même.

2. Droites orthogonales : Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

   • Attention : Deux droites peuvent être orthogonales sans être sécantes (on parle alors de droites non coplanaires).

3. Droite et plan orthogonaux : Une droite $D$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à toutes les droites du plan $P$. En pratique, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan $P$. Autre façon de voir : une droite $D$ est orthogonale à un plan $P$ si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal au plan $P$.

4. Plans orthogonaux : Deux plans sont orthogonaux si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre. Soit $P_1$ de vecteur normal $\vec{n_1}$ et $P_2$ de vecteur normal $\vec{n_2}$. $P_1 \perp P_2 \iff \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Dans l'espace, un plan est défini par un point et un vecteur normal.

Soit un plan $P$ passant par un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et admettant un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$. Pour tout point $M(x; y; z)$ appartenant au plan $P$, le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$. Donc, $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x - x_A; y - y_A; z - z_A)$. L'équation s'écrit alors : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ En développant, on obtient l'équation cartésienne du plan $P$ : $ax + by + cz + d = 0$ où $d = -ax_A - by_A - cz_A$.

Réciproquement : Toute équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ (avec $a, b, c$ non tous nuls) est l'équation d'un plan. Le vecteur $\vec{n}(a; b; c)$ est un vecteur normal à ce plan.

Plan passant par trois points non alignés : Si l'on connaît trois points $A, B, C$ non alignés, on peut déterminer un vecteur normal en calculant un vecteur orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Un vecteur $\vec{n}(a; b; c)$ est normal au plan $(ABC)$ si $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$. Cela mène à un système de deux équations à trois inconnues ($a, b, c$) qui permet de trouver les coordonnées d'un vecteur normal (à un facteur près). Ensuite, on utilise l'un des points pour trouver $d$.

Soit un plan $P$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et un point $M_0(x_0; y_0; z_0)$. La distance du point $M_0$ au plan $P$, notée $d(M_0, P)$, est la plus courte distance entre $M_0$ et un point du plan $P$. Cette distance est atteinte au niveau de la projection orthogonale $H$ de $M_0$ sur $P$. La formule pour calculer cette distance est : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ Cette formule est très efficace et souvent testée. Elle utilise les coefficients du vecteur normal du plan et les coordonnées du point.

Calculer la distance d'un point à une droite dans l'espace est plus complexe que dans le plan. On utilise souvent la projection orthogonale.

Soit une droite $D$ passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$. Soit $M_0$ un point de l'espace. La distance $d(M_0, D)$ est la distance $M_0H$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M_0$ sur $D$.

• Le point $H$ est tel que $\vec{M_0H}$ est orthogonal à $\vec{u}$.
• De plus, $H$ appartient à $D$, donc $\vec{AH}$ est colinéaire à $\vec{u}$. Il existe un réel $k$ tel que $\vec{AH} = k\vec{u}$.

On peut exprimer $\vec{M_0H} = \vec{M_0A} + \vec{AH} = \vec{M_0A} + k\vec{u}$. Puisque $\vec{M_0H} \cdot \vec{u} = 0$ : $(\vec{M_0A} + k\vec{u}) \cdot \vec{u} = 0$ $\vec{M_0A} \cdot \vec{u} + k\vec{u} \cdot \vec{u} = 0$ $\vec{M_0A} \cdot \vec{u} + k||\vec{u}||^2 = 0$ On peut en déduire $k = -\frac{\vec{M_0A} \cdot \vec{u}}{||\vec{u}||^2}$. Une fois $k$ trouvé, on a les coordonnées de $H$, et on peut calculer la distance $M_0H$.

Une autre approche consiste à utiliser la formule de l'aire du parallélogramme formé par $\vec{AM_0}$ et $\vec{u}$, qui est égale à $||\vec{AM_0}|| \times ||\vec{u}|| \times \sin(\theta)$. L'aire est aussi donnée par la base $||\vec{u}||$ multipliée par la hauteur $M_0H$. Donc $M_0H = \frac{||\vec{AM_0}|| \times \sin(\theta)}{1} = \frac{||\vec{AM_0}|| \times ||\vec{u}|| \times \sin(\theta)}{||\vec{u}||}$. En utilisant l'identité $||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \sin(\theta)$, on a : $d(M_0, D) = \frac{||\vec{AM_0} \times \vec{u}||}{||\vec{u}||}$ Cette formule, utilisant le produit vectoriel, est très compacte mais le produit vectoriel n'est pas au programme de la Terminale générale. La méthode par projection orthogonale est donc à privilégier.

Le produit scalaire est indirectement utilisé dans l'étude des intersections, notamment via les vecteurs normaux et directeurs.

1. Position relative de deux plans : Soient $P_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $P_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$.

   • Les plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}(a_1; b_1; c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2; b_2; c_2)$ sont colinéaires (c'est-à-dire $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$).
     • S'ils sont parallèles et ont un point commun, ils sont confondus.
     • S'ils sont parallèles et n'ont pas de point commun, ils sont strictement parallèles.
   • Les plans sont sécants s'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est une droite. L'équation de cette droite est donnée par le système des deux équations de plans.

2. Position relative de deux droites (dans l'espace) :

   • Droites coplanaires :
     • Sécantes : Un point d'intersection unique. Le système des équations paramétriques des deux droites a une solution unique.
     • Parallèles : Vecteurs directeurs colinéaires.
       • Confondus : Si elles ont un point commun.
       • Strictement parallèles : Si aucun point commun.
   • Droites non coplanaires : Elles ne sont ni parallèles ni sécantes. Le système des équations paramétriques n'a pas de solution. On peut vérifier cette non-coplanarité en montrant que les vecteurs directeurs et un vecteur formé par des points de chaque droite ne sont pas coplanaires (volume du parallélépipède non nul, utilisant le produit mixte, hors programme).

3. Position relative d'une droite et d'un plan : Soit une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}$.

   • La droite est parallèle au plan si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal).
     • Si, en plus, la droite a un point commun avec le plan, elle est incluse dans le plan.
     • Sinon, elle est strictement parallèle au plan.
   • La droite est sécante au plan si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$. Leur intersection est un point unique. On le trouve en substituant les expressions paramétriques de la droite dans l'équation du plan.

Ces concepts sont essentiels pour l'étude de la géométrie dans l'espace et sont souvent résolus par la résolution de systèmes d'équations.