Les fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en mathématiques. C'est un cercle de rayon 1, centré à l'origine $O(0,0)$ d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le point de coordonnées $(1,0)$ est appelé l'origine des arcs.

Les angles peuvent être mesurés en degrés ou en radians. Le radian est l'unité de mesure d'angle privilégiée en mathématiques.

• Un tour complet du cercle représente $360^\circ$ ou $2\pi$ radians.
• Un demi-tour représente $180^\circ$ ou $\pi$ radians.

La correspondance degrés-radians est proportionnelle:

• Pour convertir des degrés en radians: $angle_{rad} = angle_{deg} \times \frac{\pi}{180}$
• Pour convertir des radians en degrés: $angle_{deg} = angle_{rad} \times \frac{180}{\pi}$

Voici quelques valeurs remarquables :

Les angles associés sont des angles qui partagent les mêmes valeurs de cosinus, sinus ou tangente, ou des valeurs opposées. Ils sont souvent liés par des symétries sur le cercle trigonométrique. Pour un angle $x$:

• $x$ et $-x$: $\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$
• $x$ et $\pi-x$: $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi-x) = \sin(x)$
• $x$ et $\pi+x$: $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi+x) = -\sin(x)$
• $x$ et $\frac{\pi}{2}-x$: $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(x)$, $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)$
• $x$ et $\frac{\pi}{2}+x$: $\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin(x)$, $\sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos(x)$ Ces relations sont très utiles pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.

Pour tout réel $x$, on peut associer un point unique $M$ sur le cercle trigonométrique. Si l'angle orienté $(\vec{i}, \vec{OM})$ mesure $x$ radians, alors les coordonnées du point $M$ sont $(\cos(x), \sin(x))$.

• L'abscisse du point $M$ est $\cos(x)$.
• L'ordonnée du point $M$ est $\sin(x)$.

Puisque $M$ est sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées $(\cos(x), \sin(x))$ vérifient l'équation du cercle $X^2 + Y^2 = 1$. D'où la relation fondamentale de la trigonométrie : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ Cette relation est toujours vraie, quel que soit le réel $x$.

Les valeurs remarquables de cosinus et sinus sont à connaître par cœur :

Les signes des fonctions trigonométriques dépendent du quadrant où se trouve le point $M$ sur le cercle :

La fonction tangente est définie comme le rapport du sinus sur le cosinus : $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ Son domaine de définition $D_{\tan}$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $\cos(x) \neq 0$. Cela signifie que $x$ ne peut pas être de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier relatif. $D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

La fonction tangente est périodique de période $\pi$: $\tan(x+\pi) = \tan(x)$. Elle est également impaire: $\tan(-x) = -\tan(x)$. Cela signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

La représentation graphique de la fonction tangente présente des asymptotes verticales aux valeurs où $\cos(x)=0$ (par exemple, en $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, etc.). Sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, la fonction tangente est strictement croissante.

Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions fondamentales en analyse.

• Domaine de définition et de valeurs :

  • Le domaine de définition des fonctions cosinus et sinus est $\mathbb{R}$. Elles sont définies pour tout nombre réel.
  • Leur ensemble image (ou domaine de valeurs) est l'intervalle $[-1, 1]$. C'est-à-dire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $-1 \le \cos(x) \le 1$ et $-1 \le \sin(x) \le 1$.

• Périodicité :

  • Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout entier $k$, on a $\cos(x+2k\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi) = \sin(x)$.
  • Cela implique que l'on peut étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[0, 2\pi[$ ou $[-\pi, \pi]$, et étendre les résultats par périodicité.

• Parité :

  • La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

• Dérivabilité et continuité :

  • Les fonctions cosinus et sinus sont continues et dérivables sur tout $\mathbb{R}$. Leurs dérivées sont également continues.

La connaissance des dérivées est essentielle pour étudier les variations des fonctions trigonométriques.

• La dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. $(\cos(x))' = -\sin(x)$
• La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$. $(\sin(x))' = \cos(x)$

Ces formules s'étendent aux fonctions composées :

• Pour une fonction de la forme $\cos(ax+b)$, sa dérivée est $-a\sin(ax+b)$. $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$ Par exemple, la dérivée de $\cos(3x+1)$ est $-3\sin(3x+1)$.
• Pour une fonction de la forme $\sin(ax+b)$, sa dérivée est $a\cos(ax+b)$. $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ Par exemple, la dérivée de $\sin(2x-\frac{\pi}{4})$ est $2\cos(2x-\frac{\pi}{4})$.

L'application aux variations est directe : pour connaître les variations d'une fonction trigonométrique, on étudie le signe de sa dérivée.

• Si $f'(x) > 0$, alors $f$ est croissante.
• Si $f'(x) < 0$, alors $f$ est décroissante.
• Si $f'(x) = 0$, alors $f$ a un extremum local (maximum ou minimum).

Les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus sont des courbes ondulatoires appelées sinusoïdes.

• La courbe de cosinus (appelée aussi cosinusoïde) est une sinusoïde qui passe par $(0,1)$, a un maximum en $(0,1)$, un zéro en $(\frac{\pi}{2},0)$, un minimum en $(\pi,-1)$, un zéro en $(\frac{3\pi}{2},0)$ et un maximum en $(2\pi,1)$.
• La courbe de sinus (sinusoïde) est une sinusoïde qui passe par $(0,0)$, a un zéro en $(0,0)$, un maximum en $(\frac{\pi}{2},1)$, un zéro en $(\pi,0)$, un minimum en $(\frac{3\pi}{2},-1)$ et un zéro en $(2\pi,0)$. On peut dire que la courbe de sinus est la courbe de cosinus décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite : $\sin(x) = \cos(x-\frac{\pi}{2})$.

L'amplitude d'une sinusoïde est la moitié de la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale. Pour $\cos(x)$ et $\sin(x)$, l'amplitude est $1$. La période est la longueur du plus petit intervalle sur lequel la fonction se répète. Pour $\cos(x)$ et $\sin(x)$, la période est $2\pi$.

Les transformations de courbes permettent d'obtenir des fonctions trigonométriques plus complexes : Une fonction de la forme $f(x) = A\cos(\omega x + \phi) + B$ ou $f(x) = A\sin(\omega x + \phi) + B$ :

• $|A|$ est l'amplitude.
• La période est $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.
• $\phi$ est le déphasage (ou phase initiale).
• $B$ est le décalage vertical (translation sur l'axe des ordonnées). Ces paramètres permettent de modéliser de nombreux phénomènes périodiques.

Pour résoudre l'équation $\cos(x) = a$ :

1. Vérifier que $-1 \le a \le 1$. Si $a$ n'est pas dans cet intervalle, il n'y a pas de solution.
2. Trouver une valeur $\alpha$ telle que $\cos(\alpha) = a$. On utilise souvent les valeurs remarquables ou la fonction $\arccos$.
3. La méthode de résolution s'appuie sur la propriété de parité de cosinus et sa périodicité. Les solutions générales sont : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$
4. Pour trouver les solutions dans $[0; 2\pi[$ (ou tout autre intervalle donné), on attribue des valeurs entières à $k$ et on vérifie si les solutions obtenues sont dans l'intervalle.
5. L'utilisation du cercle trigonométrique est très visuelle : on trace la droite verticale d'abscisse $a$. Les points d'intersection avec le cercle donnent les angles solutions.

Pour résoudre l'équation $\sin(x) = a$ :

1. Vérifier que $-1 \le a \le 1$. Si $a$ n'est pas dans cet intervalle, il n'y a pas de solution.
2. Trouver une valeur $\alpha$ telle que $\sin(\alpha) = a$. On utilise souvent les valeurs remarquables ou la fonction $\arcsin$.
3. La méthode de résolution s'appuie sur la propriété des angles associés $(\pi-x)$ et la périodicité de sinus. Les solutions générales sont : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$
4. Pour trouver les solutions dans $[0; 2\pi[$ (ou tout autre intervalle donné), on procède comme pour le cosinus.
5. L'utilisation du cercle trigonométrique : on trace la droite horizontale d'ordonnée $a$. Les points d'intersection avec le cercle donnent les angles solutions.

Pour résoudre l'équation $\tan(x) = a$ :

1. Il n'y a pas de restriction sur $a$, car la fonction tangente prend toutes les valeurs réelles.
2. Trouver une valeur $\alpha$ telle que $\tan(\alpha) = a$. On utilise souvent les valeurs remarquables ou la fonction $\arctan$.
3. Les conditions d'existence : $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
4. La méthode de résolution s'appuie sur la périodicité de $\pi$ de la fonction tangente. Les solutions générales sont : $x = \alpha + k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$
5. Pour trouver les solutions dans $]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[$ (l'intervalle principal), il n'y a qu'une seule solution $\alpha$. Pour d'autres intervalles, on ajoute ou soustrait des multiples de $\pi$.

La résolution d'inéquations trigonométriques est souvent plus complexe que celle des équations, car elle implique des intervalles de solutions. La meilleure méthode est l'utilisation du cercle trigonométrique.

1. Représenter graphiquement la condition sur le cercle trigonométrique. Par exemple, pour $\cos(x) > a$, on cherche les points du cercle dont l'abscisse est supérieure à $a$.
2. Identifier les angles qui correspondent aux égalités (par exemple, $\cos(x) = a$). Ce sont les "bornes" des intervalles de solutions.
3. Déterminer les arcs du cercle qui satisfont l'inéquation.
4. Écrire les intervalles de solutions en tenant compte de la périodicité et de l'intervalle de résolution demandé (souvent $[0; 2\pi[$ ou $[-\pi; \pi]$).

Exemple simple : Résoudre $\sin(x) < \frac{1}{2}$ sur $[0; 2\pi[$.

1. Résoudre $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Les solutions dans $[0; 2\pi[$ sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$.
2. Sur le cercle, l'ordonnée est inférieure à $\frac{1}{2}$ pour les arcs allant de $0$ à $\frac{\pi}{6}$ et de $\frac{5\pi}{6}$ à $2\pi$.
3. Les solutions sont donc $x \in [0; \frac{\pi}{6}[ \cup ]\frac{5\pi}{6}; 2\pi[$.

Les formules d'addition permettent de calculer le cosinus, le sinus ou la tangente d'une somme ou d'une différence d'angles.

• Pour le cosinus :
  • $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
  • $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
• Pour le sinus :
  • $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
  • $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$
• Pour la tangente (avec les conditions d'existence $a, b, a+b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$) :
  • $\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$
  • $\tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$

Les démonstrations de ces formules peuvent être faites de différentes manières :

• Géométriques : en utilisant des triangles rectangles et des propriétés de symétrie sur le cercle trigonométrique.
• Vectorielles : en utilisant le produit scalaire de vecteurs unitaires et des rotations.
• Via les nombres complexes (plus avancé).

Les formules de duplication sont des cas particuliers des formules d'addition où $a=b$. Elles permettent d'exprimer $\cos(2x)$, $\sin(2x)$ et $\tan(2x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ (ou $\tan(x)$).

• Pour $\cos(2x)$ :
  • $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$
  • En utilisant $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, on peut obtenir deux autres formes :
    • $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$
    • $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$
• Pour $\sin(2x)$ :
  • $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
• Pour $\tan(2x)$ (avec les conditions d'existence $x, 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$) :
  • $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$

Ces formules ont de nombreuses applications pour la simplification d'expressions trigonométriques, la résolution d'équations, ou le calcul d'intégrales. Par exemple, pour calculer $\cos(\frac{\pi}{8})$, on peut utiliser la formule $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ en posant $2x = \frac{\pi}{4}$.

La linéarisation consiste à transformer des puissances de fonctions trigonométriques (comme $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$) en expressions où les fonctions trigonométriques apparaissent avec des arguments multiples (comme $\cos(2x)$), mais sans puissances. C'est le processus inverse des formules de duplication.

• À partir de $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$, on en déduit : $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
• À partir de $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, on en déduit : $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

L'utilité pour le calcul intégral est majeure. Il est très difficile d'intégrer directement $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$. En revanche, $\frac{1 + \cos(2x)}{2}$ et $\frac{1 - \cos(2x)}{2}$ sont faciles à intégrer. Par exemple, $\int \cos^2(x) dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}\sin(2x)) + C$.

Ces formules de linéarisation sont des exemples d'application où la maîtrise des transformations trigonométriques est cruciale.

Les fonctions trigonométriques sont par excellence les outils pour la modélisation de phénomènes périodiques. Exemples de phénomènes :

• Le son (ondes sonores)
• La lumière (ondes électromagnétiques)
• Les marées
• La variation de température au cours d'une journée ou d'une année
• Le mouvement d'un pendule simple
• Les courants alternatifs en électricité

Les fonctions de la forme $f(t) = A \cos(\omega t + \phi) + B$ (ou avec sinus) sont les plus courantes pour cette modélisation.

• A est l'amplitude : c'est la moitié de l'écart entre la valeur maximale et minimale du phénomène. Elle représente l'intensité ou la portée de l'oscillation.
• $\omega$ (oméga) est la pulsation (ou fréquence angulaire) : elle est liée à la période $T$ par la relation $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
• $\phi$ (phi) est le déphasage (ou phase initiale) : il détermine le décalage de l'onde par rapport à l'origine du temps.
• B est la valeur moyenne ou le décalage vertical.

La détermination des paramètres se fait souvent à partir de données expérimentales ou de l'énoncé du problème.

• $T$ (période) : durée d'un cycle complet.
• $A = \frac{Max - Min}{2}$.
• $B = \frac{Max + Min}{2}$.
• $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
• $\phi$ est déterminé en utilisant un point connu de la courbe (souvent l'instant initial $t=0$).

L'interprétation physique de ces paramètres est cruciale pour comprendre le phénomène modélisé. Par exemple, une grande amplitude pour une onde sonore signifie un son fort.

Les fonctions trigonométriques apparaissent fréquemment dans les calculs de limites et d'intégrales.

• Limites usuelles : La limite la plus importante est : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ Celle-ci est fondamentale et sert de base pour d'autres limites, comme : $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$ $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$

• Intégration des fonctions trigonométriques de base :

  • $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$
  • $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$
  • $\int \tan(x) dx = -\ln(|\cos(x)|) + C$
  • $\int \frac{1}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) + C$

• Utilisation des formules de linéarisation : Comme vu précédemment, les formules $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ et $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ sont essentielles pour l'intégration de puissances de cosinus et sinus.

• Changement de variable trigonométrique : Parfois, pour intégrer des fonctions impliquant des racines carrées comme $\sqrt{a^2-x^2}$, on peut poser $x = a\sin(\theta)$ ou $x = a\cos(\theta)$. Cela transforme l'intégrale en une intégrale trigonométrique, souvent plus simple à résoudre.

La trigonométrie est née de la géométrie et reste un pilier pour la résolution de problèmes géométriques.

• Relations métriques dans le triangle rectangle :

  • $\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
  • $\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
  • $\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

• Théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) : Dans un triangle quelconque $ABC$ de côtés $a, b, c$ (où $a$ est opposé à $A$, etc.) : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$ C'est une généralisation du théorème de Pythagore.

• Formules d'aires : L'aire d'un triangle peut être calculée avec la formule : $\mathcal{A} = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$ où $a, b, c$ sont les longueurs des côtés et $A, B, C$ sont les angles opposés.

• Applications en physique :

  • Vecteurs et forces : La décomposition d'un vecteur force en ses composantes horizontales et verticales utilise le cosinus et le sinus. Par exemple, la force de gravité sur un plan incliné se décompose en $mg\cos(\theta)$ (normale au plan) et $mg\sin(\theta)$ (parallèle au plan).
  • Calcul de trajectoires, étude des mouvements oscillatoires (ressort-masse, pendule). La trigonométrie est indispensable pour analyser les phénomènes ondulatoires, les projections et les rotations.