Les limites de fonctions

La notion de limite de fonction est fondamentale en mathématiques, notamment en analyse. Elle nous permet de comprendre le comportement d'une fonction lorsque sa variable s'approche d'une certaine valeur, ou lorsqu'elle tend vers l'infini. C'est un outil essentiel pour analyser les fonctions et leurs courbes représentatives.

Comportement d'une fonction à l'infini

Lorsque l'on parle du comportement d'une fonction à l'infini, on cherche à savoir ce qui arrive à $f(x)$ quand $x$ devient de plus en plus grand (vers $+\infty$) ou de plus en plus petit (vers $-\infty$).

• Exemple : Considérons la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$.
  • Si $x$ prend des valeurs très grandes (par exemple, $100, 1000, 10000$), $f(x)$ prend des valeurs très petites ($0.01, 0.001, 0.0001$). On dit que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. On note $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.
  • De même, si $x$ prend des valeurs très petites (négatives et de grande magnitude, par exemple, $-100, -1000$), $f(x)$ tend aussi vers $0$. On note $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Comportement d'une fonction en un point

Ici, on s'intéresse à ce qui se passe pour $f(x)$ lorsque $x$ s'approche d'une valeur finie $a$. La question est de savoir si $f(x)$ s'approche d'une certaine valeur $L$.

• Exemple : Considérons la fonction $f(x) = x^2$.
  • Si $x$ s'approche de $2$ (par exemple, $1.9, 1.99, 2.01, 2.1$), $f(x)$ s'approche de $2^2 = 4$. On note $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.
• Parfois, la fonction n'est pas définie en ce point, mais sa limite existe.
  • Exemple : $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. La fonction n'est pas définie en $x=0$. Cependant, si $x$ s'approche de $0$ (par exemple, $0.1, 0.01, -0.1, -0.01$), les valeurs de $g(x)$ s'approchent de $1$. On note $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. C'est un résultat fondamental.

Approche graphique des limites

L'approche graphique est très intuitive.

• Pour $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ : La courbe de la fonction se rapproche d'une droite horizontale d'équation $y=L$ lorsque $x$ va vers la droite (vers $+\infty$). Cette droite est une asymptote horizontale.
• Pour $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ : La courbe de la fonction se rapproche d'une droite horizontale d'équation $y=L$ lorsque $x$ va vers la gauche (vers $-\infty$).
• Pour $\lim_{x \to a} f(x) = L$ : Lorsque $x$ s'approche de $a$ sur l'axe des abscisses, le point $(x, f(x))$ sur la courbe se rapproche du point $(a, L)$.
• Pour $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ (ou $-\infty$) : Lorsque $x$ s'approche de $a$, la courbe "monte" indéfiniment (ou "descend" indéfiniment). La droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale.

Bien que les définitions formelles (avec des $\epsilon$ et des $\delta$) soient rigoureuses, nous allons adopter une approche plus intuitive, suffisante pour le niveau Terminale.

Limite finie en l'infini

On dit que $f(x)$ a pour limite $L$ (un nombre réel) quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $L$ que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment grand. On note : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$. ==Graphiquement, la droite $y=L$ est une asymptote horizontale.==

De même pour $-\infty$ : On note : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.

Limite infinie en l'infini

On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si $f(x)$ peut être rendu aussi grand que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment grand. On note : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• Exemple : $\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

De même, on peut avoir :

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
• Exemple : $\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.

Limite finie en un point

On dit que $f(x)$ a pour limite $L$ (un nombre réel) quand $x$ tend vers $a$ (un nombre réel) si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $L$ que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ (mais $x \neq a$). On note : $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

• Exemple : $\lim_{x \to 3} (2x+1) = 2(3)+1 = 7$.

Limite infinie en un point

On dit que $f(x)$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ peut être rendu aussi grand que l'on veut, pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $a$ (mais $x \neq a$). On note : $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$.

• Exemple : $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
  • Attention aux limites à gauche et à droite :
    • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ (quand $x$ s'approche de 0 par des valeurs positives)
    • $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ (quand $x$ s'approche de 0 par des valeurs négatives)
    • Dans ce cas, la limite en 0 n'existe pas car les limites à gauche et à droite sont différentes. ==Si la limite en un point $a$ est infinie, la droite $x=a$ est une asymptote verticale.==

Il est essentiel de connaître les limites des fonctions de référence pour pouvoir calculer des limites plus complexes.

Fonctions polynômes

Une fonction polynôme est de la forme $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.

• À l'infini ($+\infty$ ou $-\infty$) : La limite d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
  • $\lim_{x \to \pm\infty} (a_n x^n + \dots + a_0) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$.
  • Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 2) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.
  • Exemple : $\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x - 1) = \lim_{x \to -\infty} (-2x^3) = +\infty$.
• En un point fini $a$ : La limite d'une fonction polynôme est simplement $P(a)$. Les fonctions polynômes sont continues.
  • Exemple : $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$.

Fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes : $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$.

• À l'infini ($+\infty$ ou $-\infty$) : La limite d'une fonction rationnelle est celle du rapport des termes de plus haut degré.
  • $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$.
  • Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{x^2 + 5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty$.
  • Exemple : $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} 3 = 3$.
• En un point fini $a$ :
  • Si $Q(a) \neq 0$, alors $\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}$.
  • Si $Q(a) = 0$ et $P(a) \neq 0$, alors la limite sera $\pm\infty$. Il faut étudier le signe de $Q(x)$ autour de $a$.
    • Exemple : $\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1}$. Quand $x \to 1^+$, $x+1 \to 2$ et $x-1 \to 0^+$ (car $x > 1$). Donc $\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = +\infty$.
    • Exemple : $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1}$. Quand $x \to 1^-$, $x+1 \to 2$ et $x-1 \to 0^-$ (car $x < 1$). Donc $\lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1} = -\infty$.
  • Si $Q(a) = 0$ et $P(a) = 0$, on est face à une forme indéterminée "$\frac{0}{0}$". Il faut factoriser et simplifier.

Fonctions exponentielles et logarithmiques

• Fonction exponentielle ($e^x$ ou $\exp(x)$) :
  • $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
  • $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• Fonction logarithme népérien ($\ln(x)$) :
  • $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
  • $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ (le logarithme n'est pas défini pour $x \le 0$)
• Croissances comparées (très importantes pour les formes indéterminées) :
  • L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ à l'infini : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$.
  • Toute puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme à l'infini : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.
  • Le logarithme l'emporte sur $1/x$ en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$. Ces résultats sont cruciaux pour lever certaines formes indéterminées.

Quelques autres limites usuelles :

• $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $L$ et $L'$ des réels, et $a$ un réel ou $\pm\infty$.

Règles de calcul pour la somme

Exemples :

• $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \frac{1}{x}) = (+\infty) + (0) = +\infty$.
• $\lim_{x \to -\infty} (e^x + x) = (0) + (-\infty) = -\infty$.
• $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x)$ est une FI ($+\infty - \infty$). On verra comment la lever.

Règles de calcul pour le produit

Exemples :

• $\lim_{x \to +\infty} (3x)(e^x) = (+\infty)(+\infty) = +\infty$.
• $\lim_{x \to -\infty} (-2x)(\frac{1}{x^2}) = (+\infty)(0) = ??$ C'est une FI $0 \times \infty$. Il faut simplifier : $\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x} = 0$.

Cas des formes indéterminées (FI)

Les formes indéterminées sont :

1. $\frac{0}{0}$
2. $\frac{\infty}{\infty}$
3. $+\infty - \infty$
4. $0 \times \infty$

Ces formes ne donnent pas immédiatement la limite. Elles nécessitent des manipulations algébriques ou l'utilisation de théorèmes spécifiques.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $L$ et $L'$ des réels, et $a$ un réel ou $\pm\infty$.

Règles de calcul pour le quotient

Attention : Quand $\lim g = 0$, il faut étudier le signe de $g(x)$ autour du point $a$ pour déterminer si la limite est $+\infty$ ou $-\infty$. On note $0^+$ pour un $0$ positif (qui tend vers $0$ par des valeurs positives) et $0^-$ pour un $0$ négatif.

Exemples :

• $\lim_{x \to 2} \frac{x^2+1}{x+3} = \frac{2^2+1}{2+3} = \frac{5}{5} = 1$.
• $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3}$. Numérateur $\to 5$. Dénominateur $\to 0^+$ (car $x > 3 \implies x-3 > 0$). Donc $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3} = +\infty$.
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$. C'est une FI $\frac{\infty}{\infty}$. On utilise les croissances comparées : l'exponentielle l'emporte, donc la limite est $+\infty$.

Cas des formes indéterminées (FI)

Les formes indéterminées pour le quotient sont $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$.

Interprétation graphique des asymptotes verticales

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$. C'est un cas fréquent pour les fonctions rationnelles dont le dénominateur s'annule en $a$.

La composition de fonctions est une opération qui prend la sortie d'une fonction comme entrée d'une autre. Si $h(x) = g(f(x))$, alors $f$ est la fonction "intérieure" et $g$ est la fonction "extérieure".

Théorème de composition des limites

Soient trois réels $a, b, c$ ou $\pm\infty$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = b$ et $\lim_{y \to b} g(y) = c$, alors $\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$. On remplace $f(x)$ par une nouvelle variable $y$ pour simplifier le calcul.

Application aux fonctions composées

1. Identifier les fonctions $f$ et $g$.
2. Calculer la limite de la fonction intérieure $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$. Soit cette limite $b$.
3. Calculer la limite de la fonction extérieure $g(y)$ quand $y$ tend vers $b$. Soit cette limite $c$.
4. La limite de la fonction composée est $c$.

Exemples avec des fonctions usuelles

• Exemple 1 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} e^{-x}$.

  • Posons $f(x) = -x$ et $g(y) = e^y$.
  • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty$. On pose $y = -x$, donc $y \to -\infty$.
  • $\lim_{y \to -\infty} g(y) = \lim_{y \to -\infty} e^y = 0$.
  • Donc, $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.

• Exemple 2 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2+1)$.

  • Posons $f(x) = x^2+1$ et $g(y) = \ln(y)$.
  • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^2+1) = +\infty$. On pose $y = x^2+1$, donc $y \to +\infty$.
  • $\lim_{y \to +\infty} g(y) = \lim_{y \to +\infty} \ln(y) = +\infty$.
  • Donc, $\lim_{x \to +\infty} \ln(x^2+1) = +\infty$.

• Exemple 3 : Calculer $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2+4}$.

  • Posons $f(x) = x^2+4$ et $g(y) = \sqrt{y}$.
  • $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2+4) = 4$. On pose $y = x^2+4$, donc $y \to 4$.
  • $\lim_{y \to 4} g(y) = \lim_{y \to 4} \sqrt{y} = \sqrt{4} = 2$.
  • Donc, $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2+4} = 2$.

Cette technique est très utile pour les FI du type $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$, en particulier avec les fonctions polynômes et rationnelles.

FI du type "0/0"

Si $P(a)=0$ et $Q(a)=0$, alors $(x-a)$ est un facteur de $P(x)$ et de $Q(x)$. On peut factoriser par $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur puis simplifier.

• Exemple : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$.
  • Si $x=2$, on a $\frac{0}{0}$.
  • On factorise le numérateur : $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
  • $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

FI du type "$\infty/\infty$"

Pour les fonctions rationnelles, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

• Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 5x - 2}$.
  • Si $x \to +\infty$, on a $\frac{+\infty}{+\infty}$.
  • Factorisons par $x^2$ en haut et en bas : $\frac{x^2(3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2})}$.
  • Simplifions : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}$.
  • Quand $x \to +\infty$, les termes $\frac{1}{x}, \frac{1}{x^2}, \frac{5}{x}, \frac{2}{x^2}$ tendent vers $0$.
  • Donc, la limite est $\frac{3-0+0}{1+0-0} = 3$.
  • Ce résultat confirme la règle "limite du rapport des termes de plus haut degré" vue précédemment.

Mise en facteur du terme de plus haut degré

Cette technique est aussi très utile pour les FI du type "$+\infty - \infty$" avec les polynômes ou expressions avec racines.

• Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x)$.
  • Si $x \to +\infty$, on a $+\infty - \infty$.
  • Factorisons par le terme de plus haut degré : $x^2 - x = x^2(1 - \frac{1}{x})$.
  • $\lim_{x \to +\infty} x^2(1 - \frac{1}{x})$.
  • Quand $x \to +\infty$, $x^2 \to +\infty$ et $(1 - \frac{1}{x}) \to (1-0) = 1$.
  • Donc, la limite est $(+\infty) \times 1 = +\infty$.

Cette technique est principalement utilisée pour les FI qui impliquent des racines carrées, souvent du type "$+\infty - \infty$" ou "$0/0$". L'idée est d'utiliser l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ pour supprimer les racines.

FI impliquant des racines carrées

• Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.
  • Si $x \to +\infty$, on a $\sqrt{+\infty} - (+\infty)$, ce qui est une FI de type "$+\infty - \infty$".
  • Multiplions et divisons par l'expression conjuguée $(\sqrt{x^2+x} + x)$ : $\frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$.
  • Maintenant, on a une FI de type $\frac{\infty}{\infty}$. Factorisons par $x$ au dénominateur : $\frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} + x} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x}$.
  • Puisque $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $|x|=x$. $\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$.
  • Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$.
  • Donc, la limite est $\frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

Application de l'identité $(a-b)(a+b)$

C'est la clé de cette méthode. Elle permet de transformer une différence de racines en une expression sans racines au numérateur (ou dénominateur), facilitant la simplification.

Simplification après conjugaison

Après avoir appliqué l'expression conjuguée, on se retrouve souvent avec une nouvelle expression qu'il faut simplifier, généralement en factorisant par le terme de plus haut degré.

Le changement de variable peut simplifier l'expression d'une limite en la ramenant à une forme plus connue ou plus facile à manipuler.

Simplification de l'expression

• Exemple : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$.
  • C'est une FI de type $\frac{0}{0}$. On connaît $\lim_{u \to 0} \frac{e^u-1}{u} = 1$.
  • Posons $u = 2x$. Quand $x \to 0$, $u \to 2 \times 0 = 0$.
  • L'expression devient $\lim_{u \to 0} \frac{e^u-1}{u/2} = \lim_{u \to 0} 2 \times \frac{e^u-1}{u}$.
  • Donc, la limite est $2 \times 1 = 2$.

Adaptation des bornes de la limite

Il est crucial de changer la limite de la nouvelle variable en fonction de la limite de l'ancienne. Si $\lim_{x \to a} f(x) = b$, alors le changement de variable $u=f(x)$ implique que $u \to b$.

Application aux limites trigonométriques

• Exemple : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$.
  • C'est une FI de type $\frac{0}{0}$. On connaît $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.
  • Posons $u = 3x$. Quand $x \to 0$, $u \to 3 \times 0 = 0$.
  • L'expression devient $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/3} = \lim_{u \to 0} 3 \times \frac{\sin(u)}{u}$.
  • Donc, la limite est $3 \times 1 = 3$.

Cette méthode est essentielle pour les FI du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ impliquant des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques.

Comparaison exponentielle/puissance/logarithme

À l'infini ($+\infty$), certaines fonctions "croissent" plus vite que d'autres. L'ordre de prépondérance est le suivant, du plus lent au plus rapide : $\ln(x) \ll x^n \ll e^x$ pour tout $n > 0$. Autrement dit :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (le logarithme est négligeable devant $x^n$)
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ (la puissance est négligeable devant l'exponentielle)
• Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0$.

Règles de prépondérance

Ces règles permettent de lever des FI directement.

• Exemple 1 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^5} = +\infty$ (car $e^x$ l'emporte sur $x^5$).
• Exemple 2 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\ln(x)} = +\infty$ (car $x^2$ l'emporte sur $\ln(x)$).
• Exemple 3 : $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (car $e^x$ l'emporte sur $x$). C'est une FI $0 \times \infty$ transformée en $\frac{\infty}{\infty}$.

Application aux FI "$\infty/\infty$" et "$0 \times \infty$"

• Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - e^x)$. C'est une FI "$+\infty - \infty$".
  • Factorisons par le terme dominant $e^x$ : $e^x (\frac{x^3}{e^x} - 1)$.
  • Quand $x \to +\infty$, $\frac{x^3}{e^x} \to 0$ (car $e^x$ l'emporte sur $x^3$).
  • Donc, la limite est $(+\infty) \times (0 - 1) = (+\infty) \times (-1) = -\infty$.
  • L'exponentielle "écrase" la puissance.

Principe de l'encadrement

Soient trois fonctions $f, g, h$ définies sur un intervalle $I$ et un réel $a$ (ou $\pm\infty$). Si pour tout $x \in I$ (suffisamment proche de $a$), on a $g(x) \le f(x) \le h(x)$, ET si $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$, ALORS $\lim_{x \to a} f(x) = L$. La fonction $f$ est "prise en sandwich" entre $g$ et $h$ qui tendent vers la même limite.

Application pour prouver l'existence d'une limite

Ce théorème est souvent utilisé pour montrer qu'une limite existe et est égale à une certaine valeur, surtout quand la fonction est difficile à calculer directement.

Exemples avec des fonctions trigonométriques

• Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}$.
  • On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-1 \le \sin(x) \le 1$.
  • Pour $x > 0$, on peut diviser par $x$ sans changer le sens des inégalités : $\frac{-1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}$.
  • Calculons les limites des fonctions encadrantes : $\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = 0$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.
  • Puisque les deux fonctions encadrantes tendent vers $0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$.

Ces théorèmes sont utiles pour montrer qu'une fonction tend vers l'infini.

Comparaison avec une fonction tendant vers l'infini

Soient deux fonctions $f$ et $g$ et un réel $a$ (ou $\pm\infty$).

1. Si pour tout $x \in I$ (suffisamment proche de $a$), on a $f(x) \ge g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$.
2. Si pour tout $x \in I$ (suffisamment proche de $a$), on a $f(x) \le g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.

• Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x + \cos(x))$.
  • On sait que $\cos(x) \ge -1$ pour tout $x$.
  • Donc, $x + \cos(x) \ge x - 1$.
  • On sait que $\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$.
  • Puisque $x + \cos(x) \ge x - 1$ et que $x-1$ tend vers $+\infty$, par le théorème de comparaison, $\lim_{x \to +\infty} (x + \cos(x)) = +\infty$.

Comparaison avec une fonction tendant vers zéro

Ces théorèmes sont moins fréquemment utilisés pour les limites de fonctions, mais sont la base de la convergence des séries. Si $|f(x)| \le g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = 0$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = 0$.

Les théorèmes de limites de fonctions s'étendent aux suites numériques.

Lien entre limite de fonction et limite de suite

Si une suite $(u_n)$ est définie par $u_n = f(n)$ pour une fonction $f$ et si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.

• Attention : La réciproque n'est pas toujours vraie. Par exemple, si $f(x) = \sin(2\pi x)$, alors $f(n) = \sin(2\pi n) = 0$ pour tout entier $n$, donc $\lim_{n \to +\infty} f(n) = 0$. Cependant, $\lim_{x \to +\infty} \sin(2\pi x)$ n'existe pas.

Utilisation des théorèmes pour les suites

Les théorèmes des gendarmes et de comparaison s'appliquent directement aux suites.

• Théorème des gendarmes pour les suites : Si $v_n \le u_n \le w_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$, $\lim_{n \to +\infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$.
• Théorème de comparaison pour les suites : Si $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Exemples de suites définies par une fonction

• Exemple : Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n}$.

  • On pose $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$.
  • Par les croissances comparées, on sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
  • Donc, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0$.

• Exemple : Calculer $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \right)$.

  • On a $\frac{-1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$.
  • Donc, $\frac{1}{n} - \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n}$.
  • $0 \le \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{2}{n}$.
  • Puisque $\lim_{n \to +\infty} 0 = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n} \right) = 0$.