Les primitives

Pour bien comprendre ce qu'est une primitive, rappelons d'abord ce qu'est une fonction dérivée. Si vous avez une fonction $f(x)$, sa fonction dérivée, notée $f'(x)$, représente le taux de variation instantané de $f(x)$.

Maintenant, imaginez que vous avez une fonction $f(x)$, et que vous cherchez une autre fonction $F(x)$ telle que, lorsque vous dérivez $F(x)$, vous obteniez $f(x)$. Cette fonction $F(x)$ est ce que l'on appelle une primitive de $f(x)$.

==Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.==

Exemple :

• Si $f(x) = 2x$, alors $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x)$ car $F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Mais $F(x) = x^2 + 5$ est aussi une primitive de $f(x)$ car $F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x + 0 = 2x$.
• De même, $F(x) = x^2 - 100$ est une primitive de $f(x)$.

On utilise souvent la notation $F(x)$ pour désigner une primitive de $f(x)$.

Comme l'exemple ci-dessus le suggère, une fonction n'a pas une primitive unique, mais une infinité !

• Existence : Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors elle admet des primitives sur cet intervalle. C'est une condition importante : la continuité assure l'existence.
• Non-unicité : Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$ sur un intervalle $I$, alors toute fonction $G(x)$ de la forme $G(x) = F(x) + C$, où $C$ est une constante d'intégration réelle quelconque, est aussi une primitive de $f(x)$.

Pourquoi ? Parce que la dérivée d'une constante est toujours zéro. Donc, $G'(x) = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Ceci signifie que l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ forme une famille de primitives. On représente souvent cette famille par $F(x) + C$.

Pour trouver une primitive spécifique, il faut une condition supplémentaire (par exemple, la valeur de la primitive en un point donné).

Exemple : Si $f(x) = 3x^2$, alors $F(x) = x^3 + C$ représente toutes les primitives de $f(x)$. Si l'on sait que $F(1) = 5$, alors $1^3 + C = 5 \implies 1 + C = 5 \implies C = 4$. Dans ce cas, la primitive spécifique est $F(x) = x^3 + 4$.

Les primitives partagent des propriétés de linéarité similaires à celles de la dérivation. Ces propriétés sont très utiles pour calculer des primitives de fonctions plus complexes en les décomposant.

Soient $F$ une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ sur un intervalle $I$.

1. Primitive d'une somme de fonctions : La primitive d'une somme est la somme des primitives. Si $h(x) = f(x) + g(x)$, alors une primitive de $h(x)$ est $H(x) = F(x) + G(x) (+ C)$. Autrement dit, $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$. Attention : N'oubliez pas la constante d'intégration globale à la fin du calcul.

2. Primitive d'un produit par une constante : La primitive d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la primitive de la fonction. Si $k(x) = \lambda \cdot f(x)$ (où $\lambda$ est une constante réelle), alors une primitive de $k(x)$ est $K(x) = \lambda \cdot F(x) (+ C)$. Autrement dit, $\int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$.

Ces deux propriétés peuvent être combinées : $\int (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int f(x) dx + \mu \int g(x) dx$.

Exemple : Trouver une primitive de $h(x) = 4x^3 + 2\cos(x)$.

• Primitive de $x^3$ est $\frac{x^4}{4}$.
• Primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$. Donc, une primitive de $h(x)$ est $H(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \sin(x) + C = x^4 + 2\sin(x) + C$.

Exemples :

• Primitive de $x^5$ est $\frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$.
• Primitive de $x$ (c'est $x^1$) est $\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.
• Primitive de $1/x^3$ (c'est $x^{-3}$) est $\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.
• Primitive de $7$ est $7x + C$.

Exemples :

• Primitive de $3\cos(x)$ est $3\sin(x) + C$.
• Primitive de $\sin(x) - \cos(x)$ est $-\cos(x) - \sin(x) + C$.

Note sur le logarithme : La primitive de $1/x$ est $\ln|x|$. C'est la fonction logarithme népérien. Il n'y a pas de primitive simple pour $\ln(x)$ lui-même avec les formules de base (cela nécessite l'intégration par parties, vue plus tard).

Exemples :

• Primitive de $e^x + 2$ est $e^x + 2x + C$.
• Primitive de $5^x$ est $\frac{5^x}{\ln(5)} + C$.

C'est l'application "à l'envers" de la règle de dérivation en chaîne $(g(u(x)))' = u'(x)g'(u(x))$. On cherche à identifier des formes $u'f(u)$ pour utiliser les formules suivantes :

Méthode :

1. Identifier la fonction "interne" $u(x)$.
2. Calculer sa dérivée $u'(x)$.
3. Comparer $u'(x)$ avec ce qui est présent dans la fonction à primitiver. Il faut parfois ajuster par une constante.

Exemples :

1. Primitive de $(2x+1)^3$ :

   • Posons $u(x) = 2x+1$. Alors $u'(x) = 2$.
   • La forme est $u^3$, mais il manque le $u'$. On a $(2x+1)^3$, pas $2(2x+1)^3$.
   • On peut écrire $(2x+1)^3 = \frac{1}{2} \cdot 2(2x+1)^3$.
   • On a la forme $\frac{1}{2} u'u^3$.
   • La primitive est $\frac{1}{2} \frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{2} \frac{(2x+1)^4}{4} + C = \frac{(2x+1)^4}{8} + C$.

2. Primitive de $\frac{2x}{x^2+1}$ :

   • Posons $u(x) = x^2+1$. Alors $u'(x) = 2x$.
   • On a exactement la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
   • La primitive est $\ln|u(x)| + C = \ln(x^2+1) + C$ (car $x^2+1$ est toujours positif).

3. Primitive de $x e^{x^2}$ :

   • Posons $u(x) = x^2$. Alors $u'(x) = 2x$.
   • On a $x e^{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 2x e^{x^2}$.
   • On a la forme $\frac{1}{2} u'e^u$.
   • La primitive est $\frac{1}{2} e^{u(x)} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

C'est un cas particulier des fonctions composées. Si on a une fonction de la forme $f(ax+b)$, sa primitive sera souvent liée à celle de $f(X)$ divisée par $a$.

Méthode (Changement de variable implicite / Facteur $1/a$) :

1. Identifier la fonction $f(X)$ et l'expression linéaire $ax+b$.
2. Calculer la primitive de $f(X)$ (en considérant $X$ comme la variable).
3. Diviser le résultat par le coefficient $a$. Cette méthode est très efficace pour les compositions avec des fonctions affines.

Exemples :

1. Primitive de $(3x-2)^4$ :

   • Ici, $a=3$, $b=-2$. La fonction de base est $X^4$.
   • Primitive de $X^4$ est $\frac{X^5}{5}$.
   • Donc, la primitive de $(3x-2)^4$ est $\frac{1}{3} \frac{(3x-2)^5}{5} + C = \frac{(3x-2)^5}{15} + C$.

2. Primitive de $e^{-5x+1}$ :

   • Ici, $a=-5$, $b=1$. La fonction de base est $e^X$.
   • Primitive de $e^X$ est $e^X$.
   • Donc, la primitive de $e^{-5x+1}$ est $\frac{1}{-5} e^{-5x+1} + C = -\frac{1}{5} e^{-5x+1} + C$.

3. Primitive de $\frac{1}{4x+7}$ :

   • Ici, $a=4$, $b=7$. La fonction de base est $\frac{1}{X}$.
   • Primitive de $\frac{1}{X}$ est $\ln|X|$.
   • Donc, la primitive de $\frac{1}{4x+7}$ est $\frac{1}{4} \ln|4x+7| + C$.

Cette technique est une généralisation des primitives de fonctions composées. Elle consiste à réécrire la fonction à primitiver sous la forme $u'(x) \cdot g(u(x))$ où $g$ est une fonction dont on connaît une primitive.

Étapes :

1. Identifier $u(x)$ : Cherchez une partie de la fonction qui, si elle était $u$, simplifierait l'expression. Souvent, $u(x)$ est l'argument d'une fonction (comme $e^{u(x)}$, $\cos(u(x))$) ou la base d'une puissance $(u(x))^n$.
2. Calculer $u'(x)$ : Dérivez la fonction $u(x)$ que vous avez choisie.
3. Comparer et ajuster : Regardez si $u'(x)$ apparaît dans votre fonction.
   • Si c'est le cas (à une constante près), vous pouvez utiliser les formules de primitives de fonctions composées.
   • Si $u'(x)$ est un multiple constant de ce que vous avez, il suffit d'ajuster par ce facteur. Par exemple, si vous avez $x e^{x^2}$ et $u'(x)=2x$, vous savez que $x = \frac{1}{2} u'(x)$.
4. Appliquer la formule : Une fois que vous avez la forme $u'(x) \cdot g(u(x))$, appliquez la formule de primitive correspondante.
5. Vérification par dérivation : Toujours dériver votre résultat pour vous assurer que vous retrouvez bien la fonction de départ. C'est la meilleure façon de confirmer que votre primitive est correcte.

Exemple détaillé : Primitive de $f(x) = x \sqrt{x^2+3}$

1. Identifier $u(x)$ : La partie la plus "complexe" est sous la racine. Posons $u(x) = x^2+3$.
2. Calculer $u'(x)$ : $u'(x) = 2x$.
3. Comparer et ajuster : Dans notre fonction $f(x) = x \sqrt{x^2+3}$, on voit un $x$. Notre $u'(x)$ est $2x$. On peut écrire $x = \frac{1}{2} (2x)$. Donc, $f(x) = \frac{1}{2} (2x) \sqrt{x^2+3} = \frac{1}{2} u'(x) \sqrt{u(x)}$. La forme est $\frac{1}{2} u'(x) (u(x))^{1/2}$. C'est du type $k \cdot u' u^n$.
4. Appliquer la formule : La primitive de $u' u^n$ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$. Ici $n = 1/2$. Donc, la primitive de $u' \sqrt{u}$ est $\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$. En tenant compte du facteur $\frac{1}{2}$ : $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^2+3)^{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2+3)^{3/2} + C$. On peut aussi l'écrire $F(x) = \frac{1}{3} (x^2+3)\sqrt{x^2+3} + C$.
5. Vérification : Dérivons $F(x) = \frac{1}{3} (x^2+3)^{3/2} + C$. $F'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (x^2+3)^{3/2 - 1} \cdot (2x)$ (Règle de dérivation en chaîne) $F'(x) = \frac{1}{2} (x^2+3)^{1/2} \cdot 2x = x \sqrt{x^2+3}$. C'est bien $f(x)$.

Le concept le plus direct et le plus important lié aux primitives est l'intégrale définie. Le théorème fondamental de l'analyse établit un lien direct entre les primitives et le calcul d'aires.

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, alors l'intégrale définie de $f$ de $a$ à $b$, notée $\int_a^b f(x) dx$, est donnée par : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ sur $[a, b]$.

Ce théorème est capital car il permet de calculer des aires sous une courbe (ou entre deux courbes) en utilisant les primitives.

Exemple : Calculer l'aire sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre $x=1$ et $x=3$.

1. Trouver une primitive de $f(x) = x^2$. Une primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
2. Appliquer la formule : $\int_1^3 x^2 dx = F(3) - F(1) = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$. L'aire est de $\frac{26}{3}$ unités d'aire.

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction à ses dérivées. Les primitives sont la clé pour résoudre les équations différentielles les plus simples.

Considérons les équations différentielles de la forme $y' = f(x)$. Pour trouver la fonction $y(x)$, il suffit de trouver une primitive de $f(x)$.

Exemple : Résoudre l'équation différentielle $y' = 3x^2 - 2x + 5$. La solution générale est la primitive de $3x^2 - 2x + 5$. $y(x) = \int (3x^2 - 2x + 5) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 5x + C$ $y(x) = x^3 - x^2 + 5x + C$.

Si l'on donne une condition initiale, par exemple $y(1) = 4$, on peut trouver la solution particulière (la valeur de la constante $C$). $4 = 1^3 - 1^2 + 5(1) + C$ $4 = 1 - 1 + 5 + C$ $4 = 5 + C \implies C = -1$. La solution particulière est $y(x) = x^3 - x^2 + 5x - 1$.

En physique, particulièrement en cinématique (l'étude du mouvement), les primitives sont utilisées pour passer de l'accélération à la vitesse, et de la vitesse à la position.

• Vitesse à partir de l'accélération : Si $a(t)$ est la fonction d'accélération d'un objet en fonction du temps $t$, alors la fonction de vitesse $v(t)$ est une primitive de $a(t)$. $v(t) = \int a(t) dt$. Une condition initiale (par exemple, la vitesse à $t=0$, $v(0)$) est nécessaire pour déterminer la constante d'intégration.

• Position à partir de la vitesse : Si $v(t)$ est la fonction de vitesse d'un objet, alors la fonction de position $x(t)$ (ou $s(t)$) est une primitive de $v(t)$. $x(t) = \int v(t) dt$. Là encore, une condition initiale (par exemple, la position à $t=0$, $x(0)$) est nécessaire pour déterminer la constante d'intégration.

Exemple : Un objet est lancé verticalement avec une accélération due à la gravité constante $a(t) = -9.8 \, m/s^2$. Sa vitesse initiale est $v(0) = 20 \, m/s$ et sa position initiale est $x(0) = 5 \, m$.

1. Trouver la vitesse $v(t)$ : $v(t) = \int a(t) dt = \int -9.8 dt = -9.8t + C_1$. Utilisons la condition initiale $v(0) = 20$: $20 = -9.8(0) + C_1 \implies C_1 = 20$. Donc, $v(t) = -9.8t + 20$.

2. Trouver la position $x(t)$ : $x(t) = \int v(t) dt = \int (-9.8t + 20) dt = -9.8 \frac{t^2}{2} + 20t + C_2$. $x(t) = -4.9t^2 + 20t + C_2$. Utilisons la condition initiale $x(0) = 5$: $5 = -4.9(0)^2 + 20(0) + C_2 \implies C_2 = 5$. Donc, $x(t) = -4.9t^2 + 20t + 5$.

Ces fonctions de position et de vitesse permettent ensuite de calculer des éléments comme la hauteur maximale atteinte ou le temps de vol.