Les suites

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, où chaque nombre est appelé un terme. On la note souvent $(u_n)$ ou $(u(n))$. L'indice $n$ est généralement un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$) et représente le rang du terme dans la suite.

Il existe deux manières principales de définir une suite :

1. Définition explicite : Le terme général $u_n$ est donné directement en fonction de son rang $n$.

   • Exemple : $u_n = 2n + 1$. Pour trouver le 5ème terme, on calcule $u_5 = 2 \times 5 + 1 = 11$.
   • C'est comme une fonction $f(x)$ où $x$ est un entier naturel. On peut calculer n'importe quel terme directement sans connaître les précédents.

2. Définition par récurrence : On donne le premier terme (ou les premiers termes) et une relation qui permet de calculer un terme à partir du ou des précédents.

   • Exemple : $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 2$.
   • Pour calculer $u_1$, on a $u_1 = u_0 + 2 = 3 + 2 = 5$.
   • Pour $u_2$, on a $u_2 = u_1 + 2 = 5 + 2 = 7$.
   • Cette méthode est utile pour modéliser des phénomènes où l'état futur dépend de l'état présent.

Pour mieux comprendre une suite, on peut calculer ses premiers termes et la représenter graphiquement.

1. Calcul des premiers termes :

   • Si $u_n = n^2 - 1$ :
     • $u_0 = 0^2 - 1 = -1$
     • $u_1 = 1^2 - 1 = 0$
     • $u_2 = 2^2 - 1 = 3$
     • $u_3 = 3^2 - 1 = 8$
   • Si $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ :
     • $u_0 = 1$
     • $u_1 = 2u_0 - 1 = 2(1) - 1 = 1$
     • $u_2 = 2u_1 - 1 = 2(1) - 1 = 1$ (On voit que la suite est constante ici)

2. Représentation graphique :

   • Nuage de points : Dans un repère, on place les points de coordonnées $(n, u_n)$. L'axe des abscisses représente le rang $n$, et l'axe des ordonnées représente la valeur du terme $u_n$.
     • Exemple pour $u_n = n^2 - 1$ : $(-1,0), (0,1), (3,2), (8,3), \dots$
     • Cela donne une idée visuelle du sens de variation intuitif de la suite.
   • Diagramme en toile d'araignée (pour les suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$) :
     1. Tracer la courbe de la fonction $y = f(x)$ et la droite $y = x$.
     2. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses.
     3. Monter verticalement jusqu'à la courbe $y = f(x)$ pour trouver $f(u_0) = u_1$.
     4. Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ pour reporter $u_1$ sur l'axe des abscisses.
     5. Répéter les étapes 3 et 4 pour trouver $u_2, u_3, \dots$.
     • Ce diagramme permet de visualiser la convergence ou la divergence de la suite, et son comportement oscillatoire ou monotone.

Ces deux types de suites sont fondamentales.

1. Suites Arithmétiques :

   • Définition : Chaque terme s'obtient en ajoutant une constante $r$ (appelée la raison) au terme précédent.
     • $u_{n+1} = u_n + r$
   • Formule explicite : $u_n = u_0 + nr$ (si le premier terme est $u_0$) ou $u_n = u_p + (n-p)r$ (si le premier terme est $u_p$).
   • Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes (de $u_0$ à $u_{N-1}$) est $S_N = N \times \frac{u_0 + u_{N-1}}{2}$.
     • Plus généralement, la somme de $u_p$ à $u_q$ est $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$, où le nombre de termes est $(q-p+1)$.
   • Applications concrètes : Augmentation constante de salaire, amortissement linéaire, etc.

2. Suites Géométriques :

   • Définition : Chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante $q$ (appelée la raison).
     • $u_{n+1} = u_n \times q$
   • Formule explicite : $u_n = u_0 \times q^n$ (si le premier terme est $u_0$) ou $u_n = u_p \times q^{n-p}$ (si le premier terme est $u_p$).
   • Somme des termes : La somme des $N$ premiers termes (de $u_0$ à $u_{N-1}$) est $S_N = u_0 \frac{1 - q^N}{1 - q}$ (si $q \neq 1$).
     • Si $q = 1$, alors $S_N = N \times u_0$.
   • Applications concrètes : Intérêts composés, croissance bactérienne, déclin radioactif, etc.
   • ==Attention : la raison $q$ ne doit pas être nulle. Si $u_0=0$, la suite est nulle.==

Soit $(u_n)$ une suite numérique :

• Suite croissante : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \ge u_n$. (Les termes augmentent ou restent égaux).
• Suite strictement croissante : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$.
• Suite décroissante : For tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \le u_n$. (Les termes diminuent ou restent égaux).
• Suite strictement décroissante : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$.
• Suite constante : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n$. (Cas particulier de suite croissante et décroissante).
• Suite monotone : Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suite non monotone : Une suite qui n'est ni croissante ni décroissante (par exemple, elle peut osciller).

Il existe plusieurs méthodes pour étudier le sens de variation.

C'est la méthode la plus courante et la plus générale. On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.

• Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, alors la suite est strictement croissante.
• Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, alors la suite est strictement décroissante.
• Si $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$, alors la suite est constante.

Exemple : Soit $u_n = n^2 + n$. $u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 + (n+1)) - (n^2 + n)$ $= (n^2 + 2n + 1 + n + 1) - (n^2 + n)$ $= n^2 + 3n + 2 - n^2 - n$ $= 2n + 2$ Pour $n \in \mathbb{N}$, $2n + 2 > 0$. Donc, $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Cette méthode est particulièrement efficace pour les suites dont les termes sont tous positifs (ou tous négatifs). On compare le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$, alors la suite est strictement croissante (si $u_n > 0$).
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ pour tout $n$, alors la suite est strictement décroissante (si $u_n > 0$).
• Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$ pour tout $n$, alors la suite est constante (si $u_n > 0$).

Condition indispensable : Tous les termes $u_n$ doivent être strictement positifs (ou tous strictement négatifs) pour que la comparaison avec 1 ait un sens direct. Si les termes sont tous négatifs, le sens de l'inégalité est inversé. Cette méthode est très utile pour les suites géométriques.

Exemple : Soit $u_n = 2^n$. Tous les termes sont positifs. $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$. Comme $2 > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Si une suite est définie explicitement par $u_n = f(n)$, on peut étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$ (ou l'intervalle de définition approprié).

• Si la fonction $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
• Si la fonction $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Théorème de la fonction monotone : Si $f$ est une fonction monotone sur un intervalle $I$ et si pour tout $n$, $u_n = f(n)$ alors la suite $(u_n)$ a la même monotonie que $f$. ==Attention : cela ne fonctionne que pour les suites définies explicitement $u_n = f(n)$.==

Exemple : Soit $u_n = \frac{1}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x+1}$ définie sur $[0, +\infty[$. Calculons la dérivée de $f(x)$ : $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$. Pour $x \in [0, +\infty[$, $(x+1)^2 > 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0, +\infty[$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

1. Limite finie (convergence) : Une suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel $l$ si, lorsque $n$ devient très grand, les termes $u_n$ s'approchent de plus en plus de $l$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$.

   • Définition formelle (avec $\epsilon$) : Pour tout $\epsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, $|u_n - l| < \epsilon$.
   • Une suite convergente est nécessairement bornée.

2. Limite infinie (divergence) : Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si ses termes deviennent arbitrairement grands. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

   • Définition formelle : Pour tout $A \in \mathbb{R}$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, $u_n > A$.
   • De même, une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ si ses termes deviennent arbitrairement petits. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

3. Divergence sans limite : Certaines suites ne convergent pas et ne tendent pas vers l'infini. Elles divergent sans avoir de limite.

   • Exemple : La suite $u_n = (-1)^n$ (qui oscille entre -1 et 1).
   • Exemple : La suite $u_n = \cos(n)$ (qui oscille sans s'approcher d'une valeur unique).

Plusieurs théorèmes permettent de déterminer la limite d'une suite sans utiliser la définition formelle.

1. Opérations sur les limites : Les limites respectent les opérations arithmétiques (somme, produit, quotient), sous certaines conditions (pas de division par 0, pas de formes indéterminées).

   Opération	$\lim u_n$	$\lim v_n$	$\lim (u_n+v_n)$	$\lim (u_n \times v_n)$	$\lim (u_n/v_n)$
   $l \in \mathbb{R}$	$l'$	$l+l'$	$l \times l'$	$l/l'$ (si $l' \neq 0$)
   $l \in \mathbb{R}$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$l \times (+\infty)$ (si $l>0$)	$0$ (si $l \neq 0$)
   $+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F.I.
   $+\infty$	$l \in \mathbb{R}^+$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
   $+\infty$	$l \in \mathbb{R}^-$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
   $+\infty$	$-\infty$	F.I.	$-\infty$	F.I.

   Formes indéterminées (F.I.) :

   • $+\infty - \infty$
   • $0 \times (\pm \infty)$
   • $\frac{\infty}{\infty}$
   • $\frac{0}{0}$
   • Pour lever une F.I., on peut factoriser par le terme de plus haut degré, multiplier par la quantité conjuguée, ou utiliser des croissances comparées.

2. Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si $(v_n)$, $(u_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que pour tout $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$, et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = l$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = l$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$. Ce théorème est très utile pour les suites oscillantes ou définies avec $\sin$ ou $\cos$.

3. Théorème de comparaison :

   • Si pour tout $n$ assez grand, $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
   • Si pour tout $n$ assez grand, $u_n \le v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Ce sont des propriétés clés pour la convergence.

• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \le M$.
• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout $n$, $u_n \ge m$.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de convergence monotone :

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, mais ne donne pas sa valeur.

Conséquence :

• Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
• Toute suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.

Une suite est divergente si elle ne converge pas.

1. Divergence vers l'infini : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ou $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

   • Exemple : $u_n = n^2$, $\lim u_n = +\infty$.

2. Divergence sans limite : La suite n'a pas de limite du tout.

   • Exemple : $u_n = (-1)^n$. Les termes alternent entre -1 et 1.
   • Exemple : $u_n = \cos(n)$. Les termes varient entre -1 et 1 sans s'approcher d'une valeur fixe.
   • Critères de divergence : Si une suite n'est pas bornée et ne tend pas vers l'infini, elle diverge sans limite. Si une suite a des sous-suites qui convergent vers des limites différentes, elle diverge.

Le diagramme en toile d'araignée (voir 1.2) est un excellent outil pour formuler des conjectures sur le comportement de la suite :

• Conjecture de convergence : Est-ce que les termes s'approchent d'un point fixe ?
• Conjecture de monotonie : La suite semble-t-elle croissante ou décroissante ?
• Conjecture de bornage : Les termes restent-ils dans un certain intervalle ?
• Point fixe : Les points d'intersection de la courbe $y=f(x)$ et de la droite $y=x$ sont les points fixes de la fonction $f$. Si une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ converge, sa limite $l$ est nécessairement un point fixe, c'est-à-dire $l = f(l)$.

Pour prouver des propriétés sur les suites (bornage, monotonie, une formule explicite, etc.), la démonstration par récurrence est essentielle.

Elle se déroule en trois étapes :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$).
2. Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un rang $k$ arbitraire ($P(k)$ est vraie, c'est l'hypothèse de récurrence), et montrer qu'elle est alors vraie pour le rang suivant $k+1$ ($P(k+1)$ est vraie).
3. Conclusion : Conclure que la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ou l'ensemble des entiers considéré).

Exemple : Montrer que si $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$, alors $u_n < 2$ pour tout $n$.

1. Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a bien $0 < 2$. La propriété est vraie au rang 0.
2. Hérédité : Supposons que $u_k < 2$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$. On veut montrer que $u_{k+1} < 2$. On a $u_{k+1} = \frac{1}{2}u_k + 1$. Puisque $u_k < 2$, on multiplie par $\frac{1}{2}$ (positif, donc l'inégalité ne change pas de sens) : $\frac{1}{2}u_k < \frac{1}{2} \times 2 \implies \frac{1}{2}u_k < 1$. Ensuite, on ajoute 1 : $\frac{1}{2}u_k + 1 < 1 + 1 \implies u_{k+1} < 2$. La propriété est héréditaire.
3. Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc par le principe de récurrence, $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Si on a conjecturé qu'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers une limite finie $l$, alors cette limite $l$ doit vérifier $l = f(l)$. ==Cette équation $l=f(l)$ est appelée l'équation aux points fixes.==

Méthode pour trouver la limite :

1. Vérifier la convergence : Utiliser le théorème de convergence monotone (suite monotone et bornée) pour prouver que la suite converge. C'est une étape CRUCIALE, car une suite divergente peut avoir des points fixes.
2. Résoudre l'équation aux points fixes : Poser $l = f(l)$ et résoudre cette équation pour trouver les candidats possibles pour la limite.
3. Choisir la bonne limite : Si l'équation a plusieurs solutions, la limite doit être compatible avec le bornage ou le sens de variation de la suite. Par exemple, si on a montré que $u_n \in [0, 1]$, la limite doit être dans cet intervalle.

Exemple : Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

1. On a montré par récurrence que $u_n < 2$. On peut aussi montrer qu'elle est croissante. $u_1 = 1$, $u_1 - u_0 = 1 > 0$. Par récurrence, si $u_k < 2$, alors $u_{k+1} - u_k = (\frac{1}{2}u_k+1) - u_k = 1 - \frac{1}{2}u_k$. Si $u_k < 2$, alors $\frac{1}{2}u_k < 1$, donc $1 - \frac{1}{2}u_k > 0$. Donc la suite est croissante et majorée par 2. Elle converge.
2. On cherche la limite $l$ : $l = \frac{1}{2}l + 1$.
3. $l - \frac{1}{2}l = 1 \implies \frac{1}{2}l = 1 \implies l = 2$. La limite de la suite est 2.

• Suites arithmético-géométriques : Suites de la forme $u_{n+1} = au_n + b$.
  • On peut les transformer en suites géométriques en posant $v_n = u_n - l$ où $l$ est le point fixe ($l = al+b$).
  • Alors $v_{n+1} = u_{n+1} - l = (au_n+b) - (al+b) = a(u_n-l) = av_n$.
  • $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On peut alors exprimer $v_n$ puis $u_n$ de manière explicite.
• Modélisation de phénomènes : Les suites récurrentes sont utilisées pour modéliser l'évolution d'une population, le remboursement d'un emprunt, la propagation d'une maladie, etc.
• Algorithmes itératifs : De nombreux algorithmes numériques (méthode de Newton, etc.) sont basés sur des suites définies par récurrence pour approcher des solutions.

Ce sont les sommes les plus courantes.

1. Somme des termes d'une suite arithmétique : $S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_q = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ où le nombre de termes est $q - p + 1$.

   • Exemple : Somme des 100 premiers entiers naturels (de 0 à 99) : $S = 100 \times \frac{0 + 99}{2} = 4950$.

2. Somme des termes d'une suite géométrique : $S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_q = u_p \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$) où le nombre de termes est $q - p + 1$.

   • Si $q = 1$, alors $S = (\text{nombre de termes}) \times u_p$.
   • Exemple : $1 + 2 + 4 + \dots + 2^9$. C'est une suite géométrique de premier terme $u_0=1$, raison $q=2$, et 10 termes. $S = 1 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$.

3. Somme infinie d'une suite géométrique (série géométrique) : Si $|q| < 1$, alors la somme des termes d'une suite géométrique convergente de premier terme $u_0$ est $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_0 q^n = \frac{u_0}{1-q}$.

   • Cette formule est cruciale en probabilités et en économie.

La notation Sigma ($\sum$) est utilisée pour représenter des sommes de manière compacte. $\sum_{k=p}^{q} u_k = u_p + u_{p+1} + \dots + u_q$.

Propriétés des sommes :

• Linéarité : $\sum_{k=p}^{q} (a u_k + b v_k) = a \sum_{k=p}^{q} u_k + b \sum_{k=p}^{q} v_k$.
• Changement d'indice : $\sum_{k=p}^{q} u_k = \sum_{j=p}^{q} u_j$.
• Décomposition : $\sum_{k=p}^{q} u_k = \sum_{k=p}^{m} u_k + \sum_{k=m+1}^{q} u_k$ pour $p \le m < q$.

Sommes télescopiques : Une somme est télescopique si la plupart de ses termes s'annulent. C'est le cas pour les sommes de la forme $\sum_{k=p}^{q} (a_{k+1} - a_k)$. $\sum_{k=p}^{q} (a_{k+1} - a_k) = (a_{p+1} - a_p) + (a_{p+2} - a_{p+1}) + \dots + (a_{q+1} - a_q) = a_{q+1} - a_p$. Seul le premier et le dernier terme "survivent".

Les suites et leurs sommes ont de nombreuses applications :

• Probabilités :
  • Chaînes de Markov : Modélisation de systèmes dont l'état futur ne dépend que de l'état présent. Les probabilités d'état sont souvent représentées par des suites.
  • Calcul de probabilités d'événements successifs, espérance de variables aléatoires discrètes.
• Modélisation de phénomènes :
  • Croissance de populations (biologie) : Les suites permettent de modéliser l'évolution d'une population au cours du temps (modèle de Malthus, modèle logistique).
  • Phénomènes économiques et financiers : Calcul d'intérêts composés, rentes, amortissements, valeur actuelle nette.
  • Propagation d'information ou de maladies : Modèles de diffusion.
  • Informatique : Analyse de la complexité d'algorithmes (nombre d'opérations).

Les suites sont un outil mathématique puissant pour comprendre et prédire l'évolution de phénomènes discrets ou pour résoudre des problèmes impliquant des processus itératifs.