Manipulation des vecteurs des droites et des plans de l'espace

Pour situer un point dans l'espace, nous utilisons un système de coordonnées.

Repère orthonormé Un repère orthonormé de l'espace est constitué d'un point origine $O$ et de trois vecteurs unitaires $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ qui sont deux à deux orthogonaux. On le note $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Les axes sont :

• L'axe des abscisses (Ox) porté par $\vec{i}$.
• L'axe des ordonnées (Oy) porté par $\vec{j}$.
• L'axe des cotes (Oz) porté par $\vec{k}$.

Coordonnées d'un point Tout point $M$ de l'espace peut être repéré de manière unique par un triplet de nombres réels $(x_M, y_M, z_M)$, appelés ses coordonnées. Cela signifie que le vecteur $\vec{OM}$ s'écrit : $\vec{OM} = x_M\vec{i} + y_M\vec{j} + z_M\vec{k}$.

Coordonnées d'un vecteur Si vous avez deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont obtenues en soustrayant les coordonnées du point d'origine de celles du point d'arrivée : $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. On note souvent $\vec{u}(x, y, z)$ pour un vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $x, y, z$.

Exemple : Si $A(1, 2, 3)$ et $B(4, 0, -1)$, alors $\vec{AB} = (4-1, 0-2, -1-3) = (3, -2, -4)$.

Les vecteurs peuvent être combinés de différentes manières.

Somme de vecteurs Pour additionner deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, on additionne leurs coordonnées respectives : $\vec{u} + \vec{v} = (x+x', y+y', z+z')$.

Produit d'un vecteur par un réel Pour multiplier un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ par un réel $k$, on multiplie chaque coordonnée par ce réel : $k\vec{u} = (kx, ky, kz)$.

Combinaison linéaire de vecteurs Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \dots, \vec{u_n}$ est un vecteur de la forme $a_1\vec{u_1} + a_2\vec{u_2} + \dots + a_n\vec{u_n}$, où $a_1, a_2, \dots, a_n$ sont des réels. Cette notion est fondamentale pour exprimer des vecteurs en fonction d'autres.

Exemple : Soient $\vec{u}(1, 0, 2)$ et $\vec{v}(-1, 3, 0)$. Alors $2\vec{u} - \vec{v} = (2 \times 1 - (-1), 2 \times 0 - 3, 2 \times 2 - 0) = (2+1, 0-3, 4-0) = (3, -3, 4)$.

Ces concepts sont cruciaux pour comprendre les relations spatiales entre vecteurs.

Vecteurs colinéaires Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Géométriquement, cela signifie qu'ils ont la même direction. Ils sont portés par des droites parallèles (ou confondues).

Critère de colinéarité Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est-à-dire qu'il existe un réel $k$ tel que $x' = kx$, $y' = ky$, et $z' = kz$. Si aucune coordonnée n'est nulle, on peut vérifier que $\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} = \frac{z'}{z} = k$. Attention : si une coordonnée est nulle, il faut que la coordonnée correspondante de l'autre vecteur soit aussi nulle pour qu'ils soient colinéaires.

Exemple : $\vec{u}(1, -2, 3)$ et $\vec{v}(-2, 4, -6)$. Ici, $\vec{v} = -2\vec{u}$, donc ils sont colinéaires.

Vecteurs coplanaires Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s'ils peuvent être représentés par des segments orientés situés dans un même plan. Cela signifie que l'un des vecteurs peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des deux autres. Par exemple, $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ avec $a, b \in \mathbb{R}$. Pour vérifier la coplanarité, on peut chercher si un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres. Si c'est le cas, ils sont coplanaires.

Méthode pratique : Soient $\vec{u}(x, y, z)$, $\vec{v}(x', y', z')$, $\vec{w}(x'', y'', z'')$. On cherche $a, b$ tels que $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w}$. Cela conduit à un système de trois équations à deux inconnues : $\begin{cases} ax + bx' = x'' \\ ay + by' = y'' \\ az + bz' = z'' \end{cases}$ Si ce système a une solution unique ou une infinité de solutions, les vecteurs sont coplanaires. S'il n'y a pas de solution, ils ne le sont pas.

Ces outils permettent de mesurer des longueurs dans l'espace.

Calcul de la norme La norme (ou longueur) d'un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ est notée $||\vec{u}||$ et se calcule par la formule : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. C'est une généralisation du théorème de Pythagore dans l'espace.

Exemple : Si $\vec{u}(3, -2, -4)$, alors $||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.

Distance entre deux points La distance entre deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ est simplement la norme du vecteur $\vec{AB}$. $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Milieu d'un segment Les coordonnées du milieu $I$ d'un segment $[AB]$ sont la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$ : $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel.

Définition géométrique Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est défini par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est 0. Cette définition est utile pour calculer des angles entre vecteurs.

Définition analytique Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, leur produit scalaire est : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$. C'est la formule la plus utilisée pour le calcul du produit scalaire en coordonnées.

Exemple : $\vec{u}(1, 2, -1)$ et $\vec{v}(3, 0, 4)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (2)(0) + (-1)(4) = 3 + 0 - 4 = -1$.

Propriétés du produit scalaire

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Linéarité :
  • $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
  • $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$. Donc $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.

Le produit scalaire est l'outil parfait pour tester l'orthogonalité.

Critère d'orthogonalité Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Géométriquement, cela signifie que l'angle entre eux est de 90° ($\cos(90°) = 0$).

Vecteurs orthogonaux On dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux et on note $\vec{u} \perp \vec{v}$ si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Exemple : $\vec{u}(1, -2, 3)$ et $\vec{v}(1, 2, 1)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (-2)(2) + (3)(1) = 1 - 4 + 3 = 0$. Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Base orthonormée Un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est orthonormé si les vecteurs $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sont deux à deux orthogonaux et unitaires (leur norme est 1). C'est pourquoi la formule analytique $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ est si pratique : elle ne fonctionne que dans un repère orthonormé !

La projection orthogonale permet de "décomposer" un vecteur.

Vecteur projeté Soient un vecteur $\vec{u}$ et une droite $D$ dirigée par un vecteur unitaire $\vec{v}$. Le projeté orthogonal de $\vec{u}$ sur la droite $D$ est le vecteur $\vec{p}$ tel que : $\vec{p} = (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{v}$. Le nombre $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est la longueur algébrique de la projection de $\vec{u}$ sur l'axe défini par $\vec{v}$.

Calcul de la projection Pour projeter un point $M$ sur une droite $D$ (ou un plan $P$), on cherche le point $H$ (projeté) sur $D$ (ou $P$) tel que $\vec{MH}$ soit orthogonal à $D$ (ou $P$).

Applications géométriques La projection orthogonale est utilisée pour :

• Calculer des distances (point à droite, point à plan).
• Déterminer des coordonnées de points spécifiques (par exemple, le pied de la hauteur d'un triangle).
• Décomposer une force en physique.

C'est une manière très courante de définir une droite.

Vecteur directeur Une droite est caractérisée par un point par lequel elle passe et sa direction. Cette direction est donnée par un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$, qui est un vecteur non nul parallèle à la droite.

Point de passage Pour définir une droite, il faut également un point $A(x_A, y_A, z_A)$ par lequel elle passe.

Paramètre réel Soit une droite $D$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$. Tout point $M(x, y, z)$ appartenant à $D$ vérifie la relation vectorielle $\vec{AM} = t\vec{u}$ pour un certain réel $t$. Cela donne la représentation paramétrique de la droite $D$ : $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}$ où $t \in \mathbb{R}$ est le paramètre réel. Chaque valeur de $t$ correspond à un unique point sur la droite.

Exemple : Droite passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4, -1, 0)$. Sa représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - t \\ z = 3 \end{cases}$ pour $t \in \mathbb{R}$.

Comment savoir si un point est sur une droite donnée par sa représentation paramétrique ?

Substitution des coordonnées Pour vérifier si un point $P(x_P, y_P, z_P)$ appartient à une droite $D$ dont la représentation paramétrique est donnée, on substitue les coordonnées de $P$ dans les équations de la droite.

Résolution du système $\begin{cases} x_P = x_A + ta \\ y_P = y_A + tb \\ z_P = z_A + tc \end{cases}$ On résout chacune des trois équations pour trouver une valeur de $t$.

Existence du paramètre Si les trois équations donnent la même valeur de $t$, alors le point $P$ appartient à la droite. Sinon, il n'y appartient pas.

Exemple : La droite $D : \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - t \\ z = 3 \end{cases}$ et le point $P(9, 0, 3)$. $9 = 1 + 4t \implies 4t = 8 \implies t = 2$ $0 = 2 - t \implies t = 2$ $3 = 3$ (cette équation est toujours vraie, elle ne donne pas d'information sur $t$, mais elle est compatible). Comme on trouve $t=2$ dans les deux premières équations et que la troisième est compatible, le point $P$ appartient à la droite $D$.

Dans l'espace, deux droites peuvent être dans différentes configurations.

Droites parallèles Deux droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles si leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires. On les distingue en :

• Parallèles confondues : Si elles sont parallèles ET ont un point commun.
• Parallèles distinctes : Si elles sont parallèles ET n'ont aucun point commun.

Droites sécantes Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point d'intersection. Pour trouver ce point, on égalise leurs représentations paramétriques (avec des paramètres différents, par exemple $t$ et $t'$). $\begin{cases} x_1 + t a_1 = x_2 + t' a_2 \\ y_1 + t b_1 = y_2 + t' b_2 \\ z_1 + t c_1 = z_2 + t' c_2 \end{cases}$ Ce système de 3 équations à 2 inconnues ($t$ et $t'$) doit avoir une unique solution pour que les droites soient sécantes.

Droites non coplanaires (ou gauches) Deux droites sont non coplanaires (ou gauches) si elles ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles ne sont pas dans le même plan. Le système d'équations pour trouver l'intersection n'aura pas de solution. Vérifier la non-colinéarité des vecteurs directeurs d'abord. S'ils ne sont pas colinéaires, les droites sont soit sécantes, soit gauches.

C'est une façon élégante de définir l'orientation d'un plan.

Définition du vecteur normal Un vecteur normal à un plan $P$ est un vecteur $\vec{n}$ non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan. Géométriquement, il est perpendiculaire au plan.

Orthogonalité aux vecteurs du plan Si $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ et si $\vec{u}$ est un vecteur quelconque du plan (c'est-à-dire que $\vec{u}$ est le vecteur $\vec{AB}$ où $A$ et $B$ sont deux points du plan), alors $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$.

Unicité à un facteur près Si $\vec{n}$ est un vecteur normal à un plan, alors tout vecteur $k\vec{n}$ (avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur normal à ce même plan. Le vecteur normal n'est pas unique, mais sa direction l'est.

C'est une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$.

Formule $ax+by+cz+d=0$ Un plan $P$ peut être défini par une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$, où $a, b, c, d$ sont des réels et $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le triplet $(a, b, c)$ est alors les coordonnées d'un vecteur normal au plan $P$. Si $M(x, y, z)$ est un point quelconque du plan et $A(x_A, y_A, z_A)$ est un point connu du plan, et si $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan, alors $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$. $(x-x_A)a + (y-y_A)b + (z-z_A)c = 0$ $ax - ax_A + by - by_A + cz - cz_A = 0$ $ax + by + cz - (ax_A + by_A + cz_A) = 0$. En posant $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$, on obtient bien $ax+by+cz+d=0$.

Détermination des coefficients

• Les coefficients $a, b, c$ sont les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$.
• Le coefficient $d$ est déterminé en utilisant les coordonnées d'un point connu du plan. On substitue les coordonnées du point dans l'équation et on résout pour $d$.

Exemple : Trouver l'équation d'un plan $P$ passant par $A(1, 0, -2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$. L'équation est de la forme $2x - y + 3z + d = 0$. Comme $A$ appartient au plan : $2(1) - (0) + 3(-2) + d = 0 \implies 2 - 0 - 6 + d = 0 \implies -4 + d = 0 \implies d = 4$. Donc l'équation du plan est $2x - y + 3z + 4 = 0$.

Un plan, contrairement à une droite, a besoin de deux vecteurs directeurs.

Deux vecteurs directeurs non colinéaires Un plan est défini par un point de passage et deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ qui ne sont pas colinéaires (sinon, ils définiraient une droite, pas un plan).

Point de passage Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan est nécessaire.

Deux paramètres réels Soit un plan $P$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(a, b, c)$ et $\vec{v}(a', b', c')$. Tout point $M(x, y, z)$ appartenant à $P$ vérifie la relation vectorielle $\vec{AM} = t\vec{u} + k\vec{v}$ pour des réels $t$ et $k$. Cela donne la représentation paramétrique du plan $P$ : $\begin{cases} x = x_A + ta + ka' \\ y = y_A + tb + kb' \\ z = z_A + tc + kc' \end{cases}$ où $t, k \in \mathbb{R}$ sont les deux paramètres réels. Chaque couple $(t, k)$ correspond à un unique point sur le plan.

Exemple : Plan passant par $A(1, 0, 0)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}(1, 1, 0)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$. Sa représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t + k \\ z = k \end{cases}$ pour $t, k \in \mathbb{R}$.

Deux plans peuvent être parallèles ou sécants.

Plans parallèles Deux plans $P_1$ et $P_2$ d'équations $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ et $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ sont parallèles si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}(a_1, b_1, c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2, b_2, c_2)$ sont colinéaires.

• Plans confondus : Si les vecteurs normaux sont colinéaires ET si un point de $P_1$ appartient à $P_2$ (ou si leurs équations sont proportionnelles).
• Plans strictement parallèles : Si les vecteurs normaux sont colinéaires ET s'ils n'ont aucun point commun.

Plans sécants Deux plans sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Leur intersection est alors une droite. Pour trouver l'équation de cette droite, on résout le système formé par les deux équations des plans.

Exemple : $P_1: x+y+z=1$ et $P_2: 2x-y+z=0$. $\vec{n_1}(1, 1, 1)$ et $\vec{n_2}(2, -1, 1)$. Ils ne sont pas colinéaires. Les plans sont sécants. Pour trouver la droite d'intersection : $\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x-y+z=0 \end{cases}$ On peut exprimer $y$ et $z$ en fonction de $x$ (ou l'inverse). De la première équation : $y = 1-x-z$. On substitue dans la seconde : $2x - (1-x-z) + z = 0 \implies 2x - 1 + x + z + z = 0 \implies 3x - 1 + 2z = 0 \implies z = \frac{1-3x}{2}$. Puis on trouve $y = 1-x-\frac{1-3x}{2} = \frac{2-2x-1+3x}{2} = \frac{1+x}{2}$. En posant $x=t$, on obtient la représentation paramétrique de la droite d'intersection : $\begin{cases} x = t \\ y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}t \\ z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}t \end{cases}$ Le vecteur directeur est $\vec{d}(1, \frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ ou $(2, 1, -3)$.

Vecteur directeur orthogonal au vecteur normal Une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.

Point de la droite n'appartenant pas au plan Si, en plus, un point de la droite n'appartient pas au plan, alors la droite est strictement parallèle au plan (intersection vide).

Intersection vide Dans ce cas, la droite et le plan n'ont aucun point commun.

Vecteur directeur orthogonal au vecteur normal Comme pour le cas précédent, le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ doit être orthogonal au vecteur normal du plan $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).

Point de la droite appartenant au plan De plus, pour que la droite soit incluse dans le plan, au moins un point de la droite doit appartenir au plan. Si le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal ET qu'un point de la droite est dans le plan, alors toute la droite est dans le plan.

Infinité de points communs Dans ce cas, la droite et le plan ont une infinité de points en commun (tous les points de la droite).

Vecteur directeur non orthogonal au vecteur normal Une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est sécante à un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ ne sont pas orthogonaux, c'est-à-dire $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$.

Calcul du point d'intersection Pour trouver le point d'intersection, on substitue les expressions paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan. Cela donne une équation en $t$ (le paramètre de la droite).

Un unique point commun Cette équation en $t$ aura une unique solution, qui permet de trouver les coordonnées du point d'intersection.

Exemple : Droite $D: \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-t \\ z = 3t \end{cases}$ et plan $P: x+y+z=6$.

1. Vecteur directeur $\vec{u}(1, -1, 3)$. Vecteur normal $\vec{n}(1, 1, 1)$. $\vec{u} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (-1)(1) + (3)(1) = 1 - 1 + 3 = 3 \neq 0$. Les droite et plan sont sécants.
2. Substitution : $(1+t) + (2-t) + (3t) = 6$ $3 + 3t = 6 \implies 3t = 3 \implies t = 1$.
3. Point d'intersection : Pour $t=1$, $x=1+1=2$, $y=2-1=1$, $z=3(1)=3$. Le point d'intersection est $(2, 1, 3)$.

Distance point-plan La distance d'un point $A(x_A, y_A, z_A)$ à un plan $P$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ est donnée par la formule : $d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Cette formule est à connaître par cœur.

Distance point-droite Pour calculer la distance d'un point $A$ à une droite $D$:

1. Trouver un plan $P$ passant par $A$ et orthogonal à $D$. Son vecteur normal est le vecteur directeur de $D$.
2. Calculer le point d'intersection $H$ de $D$ et $P$. $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $D$.
3. La distance $d(A, D)$ est la distance $AH$.

Distance entre deux droites

• Parallèles : Choisir un point $A$ sur une droite et calculer la distance de $A$ à l'autre droite (méthode point-droite).
• Sécantes : La distance est 0.
• Non coplanaires (gauches) : C'est plus complexe. On peut chercher la longueur du segment de la perpendiculaire commune aux deux droites. Une méthode consiste à trouver la distance entre un plan contenant une droite et parallèle à l'autre, et un point de la deuxième droite.

Projeté orthogonal Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $D$ (ou un plan $P$) est le point $H$ de $D$ (ou $P$) tel que la droite $(MH)$ est orthogonale à $D$ (ou $P$). On le trouve en général en :

1. Écrivant l'équation de la droite $(MH)$ (ou du plan $(MH)$).
2. Calculant l'intersection de cette droite (ou plan) avec $D$ (ou $P$).

Intersection de droites/plans Comme vu précédemment, la recherche de points d'intersection est une application directe des représentations de droites et de plans.

Symétrie Le symétrique d'un point $A$ par rapport à un point $I$, une droite $D$ ou un plan $P$ peut être trouvé en utilisant les notions de milieu et de projeté orthogonal.

• Symétrique par rapport à un point $I$: $I$ est le milieu de $[AA']$.
• Symétrique par rapport à une droite $D$: $H$ (projeté de $A$ sur $D$) est le milieu de $[AA']$.
• Symétrique par rapport à un plan $P$: $H$ (projeté de $A$ sur $P$) est le milieu de $[AA']$. La droite $(AH)$ est normale au plan $P$.

Les vecteurs et le produit scalaire sont des outils puissants pour les démonstrations.

Utilisation des vecteurs

• Parallélisme de droites ou plans : Montrer la colinéarité des vecteurs directeurs ou normaux.
• Alignement de points : Montrer la colinéarité des vecteurs formés par ces points (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$).
• Appartenance à un plan : Montrer que trois vecteurs sont coplanaires, ou qu'un point vérifie l'équation du plan.

Utilisation du produit scalaire

• Orthogonalité : Montrer que le produit scalaire de deux vecteurs est nul.
• Triangle rectangle : Montrer que deux côtés sont orthogonaux.
• Hauteurs, médianes, médiatrices : Utiliser les propriétés d'orthogonalité.

Preuves d'orthogonalité et de parallélisme Pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. Pour prouver qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de montrer que son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. Pour prouver que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Pour prouver que deux droites sont orthogonales, il suffit de montrer que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Ce chapitre est une pierre angulaire de la géométrie dans l'espace. En maîtrisant ces concepts et ces outils, vous serez capable de résoudre une grande variété de problèmes. N'hésitez pas à refaire les exemples et à vous entraîner avec des exercices !