La modelisation temporelle d'un systeme nucleaire

La radioactivité est un phénomène nucléaire au cours duquel un noyau instable (dit radioactif) se transforme spontanément en un autre noyau (plus stable), en émettant des particules et/ou des rayonnements. Ce processus est appelé désintégration radioactive.

Il existe plusieurs types de radioactivité, classés selon les particules ou rayonnements émis :

• Radioactivité alpha ($\alpha$): Émission d'un noyau d'hélium $^4_2He$ (deux protons et deux neutrons).
  • Le noyau père est généralement lourd.
  • Exemple : $^ {238}_{92}U \rightarrow ^ {234}_{90}Th + ^4_2He$
• Radioactivité bêta moins ($\beta^-$): Émission d'un électron $^0_{-1}e$ (ou $\beta^-$). Un neutron du noyau se transforme en proton.
  • Le noyau père a un excès de neutrons.
  • Exemple : $^ {14}_6C \rightarrow ^ {14}_7N + ^0_{-1}e$
• Radioactivité bêta plus ($\beta^+$): Émission d'un positon $^0_{+1}e$ (ou $\beta^+$), l'antiparticule de l'électron. Un proton du noyau se transforme en neutron.
  • Le noyau père a un excès de protons.
  • Exemple : $^ {18}_9F \rightarrow ^ {18}_8O + ^0_{+1}e$
• Radioactivité gamma ($\gamma$): Émission d'un photon de haute énergie (rayonnement électromagnétique). Elle accompagne souvent les désintégrations $\alpha$ ou $\beta$ lorsque le noyau fils est formé dans un état excité.
  • Le noyau passe d'un état excité à un état de plus basse énergie.
  • Exemple : $^ {60}_{27}Co^* \rightarrow ^ {60}_{27}Co + \gamma$ (où $^*$ indique un état excité)

La radioactivité est un phénomène aléatoire et spontané, indépendant des conditions physiques (température, pression, etc.).

Lors d'une désintégration nucléaire, deux lois fondamentales de conservation doivent être respectées :

1. Loi de conservation du nombre de masse (A): La somme des nombres de masse (nombre de nucléons) des réactifs est égale à la somme des nombres de masse des produits.
2. Loi de conservation de la charge (Z): La somme des numéros atomiques (nombre de protons) des réactifs est égale à la somme des numéros atomiques des produits.

Ces lois sont aussi appelées lois de Soddy-Fajans.

Pour une désintégration générale d'un noyau père $^A_ZX$ en un noyau fils ^A'_Z'Y et une particule $^a_zp$: ^A_ZX \rightarrow ^A'_Z'Y + ^a_zp Les lois de conservation s'écrivent :

• Conservation de A : $A = A' + a$
• Conservation de Z : $Z = Z' + z$

Particules émises et leurs symboles :

Exemple de rédaction d'une équation : Le Thorium 234 ($^{234}_{90}Th$) se désintègre par émission $\beta^-$. Trouver le noyau fils. $^{234}_{90}Th \rightarrow ^A_ZY + ^0_{-1}e$

• Conservation de A : $234 = A + 0 \Rightarrow A = 234$
• Conservation de Z : $90 = Z + (-1) \Rightarrow Z = 91$ Le noyau fils est donc le Protactinium 234 ($^{234}_{91}Pa$). Équation complète : $^{234}_{90}Th \rightarrow ^{234}_{91}Pa + ^0_{-1}e$

La stabilité d'un noyau dépend du rapport entre son nombre de neutrons (N) et son nombre de protons (Z), c'est-à-dire le rapport N/Z.

• Pour les noyaux légers (Z < 20), les noyaux stables ont un rapport N/Z proche de 1 (N $\approx$ Z).
• Pour les noyaux lourds (Z > 20), les noyaux stables ont un excès de neutrons, avec un rapport N/Z supérieur à 1 et augmentant avec Z (atteignant environ 1,5 pour les noyaux très lourds). Cet excès de neutrons est nécessaire pour compenser la répulsion électrostatique croissante entre les protons.

La vallée de stabilité est une représentation graphique (N en fonction de Z) qui regroupe l'ensemble des noyaux stables.

• Les noyaux situés au-dessus de la vallée de stabilité (excès de neutrons) ont tendance à se désintégrer par émission $\beta^-$ pour convertir un neutron en proton et se rapprocher de la stabilité.
• Les noyaux situés en dessous de la vallée de stabilité (excès de protons) ont tendance à se désintégrer par émission $\beta^+$ ou par capture électronique pour convertir un proton en neutron.
• Les noyaux très lourds (Z > 83) sont généralement instables et se désintègrent souvent par émission $\alpha$ pour réduire leur nombre de nucléons.

Les noyaux situés en dehors de cette "vallée" sont instables et subissent des désintégrations radioactives pour atteindre un état plus stable.

La décroissance radioactive est un phénomène aléatoire à l'échelle d'un noyau individuel : il est impossible de prédire quand un noyau particulier va se désintégrer.

Cependant, à l'échelle macroscopique (pour un grand nombre de noyaux), la décroissance est un phénomène statistique et obéit à des lois bien définies.

• Elle est indépendante des conditions physiques et chimiques (température, pression, état d'agrégation, composition chimique) : un noyau radioactif se désintégrera à la même vitesse qu'il soit dans un cristal, une molécule ou un gaz, et quelle que soit la température.
• Elle est spontanée et inéluctable : le noyau se désintègre sans intervention extérieure.

La loi de décroissance radioactive décrit l'évolution du nombre de noyaux non désintégrés au cours du temps. Soit $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon à l'instant $t$. Soit $N_0$ le nombre initial de noyaux radioactifs à l'instant $t=0$.

La loi de décroissance exponentielle s'écrit : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ où :

• $N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$.
• $N_0$ est le nombre initial de noyaux radioactifs à $t=0$.
• $e$ est la base du logarithme népérien (environ 2,718).
• $\lambda$ (lambda) est la constante radioactive du nucléide considéré, exprimée en s$^{-1}$. Elle caractérise la probabilité de désintégration par unité de temps.
• $t$ est le temps écoulé, en secondes (s).

Cette formule indique que le nombre de noyaux radioactifs diminue de manière exponentielle au fil du temps.

L'activité $A(t)$ d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle mesure la "force" de la radioactivité de l'échantillon.

L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs $N(t)$ présents à l'instant $t$ : $A(t) = \lambda N(t)$ où $\lambda$ est la constante radioactive.

Puisque $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, on peut aussi écrire l'activité sous forme exponentielle : $A(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ En reconnaissant $A_0 = \lambda N_0$ comme l'activité initiale à $t=0$, on obtient : $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ L'unité de l'activité est le Becquerel (Bq). 1 Bq correspond à 1 désintégration par seconde. D'autres unités historiques existent, comme le Curie (Ci) : $1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$.

L'activité d'un échantillon diminue également de façon exponentielle au cours du temps, comme le nombre de noyaux radioactifs.

La constante radioactive $\lambda$ est une caractéristique intrinsèque d'un nucléide radioactif.

• Elle représente la probabilité de désintégration par unité de temps pour un noyau donné.
• Son unité est l'inverse du temps, généralement s$^{-1}$.
• Une valeur de $\lambda$ élevée signifie que le nucléide est très instable et se désintègre rapidement. Une faible valeur de $\lambda$ indique une désintégration lente.

La constante radioactive est directement liée au temps de demi-vie (voir ci-dessous).

Le temps de demi-vie, noté T½ (parfois simplement T), est un paramètre fondamental pour caractériser la vitesse de désintégration d'un nucléide.

C'est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs présents dans un échantillon se désintègrent. De manière équivalente, c'est le temps au bout duquel l'activité d'un échantillon est divisée par deux.

La relation entre le temps de demi-vie T½ et la constante radioactive $\lambda$ est donnée par : $T½ = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ ou, de manière équivalente, $\lambda = \frac{\ln(2)}{T½}$ où $\ln(2) \approx 0,693$.

Exemple : Si le T½ d'un échantillon est de 10 ans, après 10 ans, il restera 50% des noyaux initiaux. Après 20 ans (2T½), il restera 25% des noyaux initiaux (la moitié de la moitié). Après 30 ans (3T½), il restera 12,5%, et ainsi de suite.

Le temps de demi-vie est une constante pour un nucléide donné et ne dépend pas des conditions physiques ou de la quantité initiale de matière.

La décroissance radioactive peut être représentée graphiquement de deux manières principales :

1. Courbe $N(t)$ ou $A(t)$ en fonction du temps (échelle linéaire) :

   • Le graphique montre une courbe exponentielle décroissante partant de $N_0$ (ou $A_0$) à $t=0$ et tendant vers zéro sans jamais l'atteindre.
   • Pour déterminer graphiquement T½ :
     • Repérer $N_0$ (ou $A_0$) sur l'axe des ordonnées.
     • Chercher la valeur $N_0/2$ (ou $A_0/2$).
     • Lire le temps correspondant sur l'axe des abscisses ; c'est T½.
     • On peut vérifier en cherchant $N_0/4$ et voir si le temps est $2 \times T½$.

   Exemple de tracé de $N(t)$ : (Image à titre illustratif, non générée par le modèle)

2. Courbe $\ln(N(t))$ ou $\ln(A(t))$ en fonction du temps (échelle semi-logarithmique) :

   • En prenant le logarithme népérien de la loi de décroissance $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ : $\ln(N(t)) = \ln(N_0 e^{-\lambda t})$ $\ln(N(t)) = \ln(N_0) + \ln(e^{-\lambda t})$ $\ln(N(t)) = -\lambda t + \ln(N_0)$
   • Cette équation est de la forme $y = mx + p$, ce qui correspond à une droite.
     • La pente de cette droite est $-\lambda$.
     • L'ordonnée à l'origine est $\ln(N_0)$.
   • Cette représentation est utile pour vérifier si un phénomène suit bien une loi de décroissance exponentielle et pour déterminer $\lambda$ (et donc T½) de manière plus précise à partir de la pente.

La datation radioactive est une méthode utilisée pour déterminer l'âge d'échantillons géologiques, archéologiques ou biologiques. Elle repose sur deux principes clés :

1. La présence d'isotopes radioactifs (appelés "pères") qui se désintègrent en isotopes stables (appelés "fils") selon une loi de décroissance connue.
2. La connaissance précise de la période (T½) de l'isotope radioactif utilisé.
3. La possibilité de mesurer le rapport entre la quantité d'isotopes pères et d'isotopes fils dans l'échantillon.

En mesurant la proportion de l'isotope père restant et de l'isotope fils accumulé, et connaissant la vitesse de désintégration (T½), on peut remonter au temps écoulé depuis le début de la "désintégration chronologique" de l'échantillon.

La datation au carbone 14 ($^{14}C$) est la méthode la plus connue pour dater des matières organiques.

• Formation du $^{14}C$: Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone, formé en permanence dans la haute atmosphère par l'action des rayons cosmiques sur l'azote ($^{14}N$). $^{14}_7N + ^1_0n \rightarrow ^{14}_6C + ^1_1p$
• Équilibre avec l'atmosphère: Le $^{14}C$ ainsi produit s'oxyde en $^{14}CO_2$, qui se mélange au $^{12}CO_2$ (carbone stable) de l'atmosphère. Les êtres vivants (plantes par photosynthèse, animaux en mangeant les plantes) incorporent ce carbone et maintiennent un équilibre avec le rapport $^{14}C / ^{12}C$ atmosphérique tant qu'ils sont en vie.
• Début de la datation: À la mort de l'organisme, les échanges avec l'atmosphère cessent. Le $^{14}C$ qu'il contient commence à se désintégrer par radioactivité $\beta^-$ (avec T½ $\approx$ 5730 ans) en $^{14}N$. $^{14}_6C \rightarrow ^{14}_7N + ^0_{-1}e$ Le rapport $^{14}C / ^{12}C$ dans l'échantillon diminue alors exponentiellement.
• Mesure et calcul: En mesurant le rapport actuel $^{14}C / ^{12}C$ dans l'échantillon et en le comparant au rapport atmosphérique initial (connu), on peut calculer le temps écoulé depuis la mort de l'organisme.
  • La méthode est efficace pour des âges allant de quelques dizaines d'années à environ 50 000 - 60 000 ans (environ 10 T½). Au-delà, la quantité de $^{14}C$ restante est trop faible pour être mesurée précisément.

La datation au carbone 14 est cruciale en archéologie et paléontologie pour dater des os, du bois, des textiles, etc.

Pour des datations sur des échelles de temps beaucoup plus longues (millions à milliards d'années), d'autres couples d'isotopes radioactifs sont utilisés, notamment en géologie :

• Datation Uranium-Plomb (U-Pb):

  • Utilise la désintégration de l'Uranium 238 ($^{238}U$) en Plomb 206 ($^{206}Pb$) avec un T½ d'environ 4,47 milliards d'années.
  • Utilise aussi la désintégration de l'Uranium 235 ($^{235}U$) en Plomb 207 ($^{207}Pb$) avec un T½ d'environ 704 millions d'années.
  • Ces méthodes sont très précises pour dater les roches ignées, les minéraux (comme le zircon) et déterminer l'âge de la Terre.

• Datation Potassium-Argon (K-Ar):

  • Utilise la désintégration du Potassium 40 ($^{40}K$) en Argon 40 ($^{40}Ar$) avec un T½ d'environ 1,25 milliard d'années.
  • L'argon est un gaz, et quand une roche volcanique se forme, l'argon gazeux s'échappe. Après la solidification, l'argon produit par la désintégration du $^{40}K$ reste piégé dans la roche.
  • Cette méthode est très utilisée pour dater les roches volcaniques et les événements géologiques associés, ainsi que les fossiles hominidés trouvés dans des couches volcaniques.

Ces méthodes sophistiquées nécessitent des instruments de mesure très précis (spectromètres de masse) et des conditions initiales bien comprises pour les rapports père/fils.

Lors de la formation d'un noyau atomique à partir de ses nucléons (protons et neutrons), on observe que la masse du noyau est toujours inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris isolément. Cette différence est appelée défaut de masse ($\Delta m$).

$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{noyau}$ où :

• $Z$ est le nombre de protons.
• $N$ est le nombre de neutrons.
• $m_p$ est la masse d'un proton.
• $m_n$ est la masse d'un neutron.
• $m_{noyau}$ est la masse du noyau.

Ce défaut de masse est converti en énergie selon la célèbre relation d'équivalence masse-énergie d'Einstein : $E = mc^2$. L'énergie correspondant à ce défaut de masse est l'énergie de liaison ($E_L$) du noyau. $E_L = \Delta m \cdot c^2$ où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ($c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$).

L'énergie de liaison représente l'énergie qu'il faudrait fournir pour séparer un noyau en ses nucléons isolés. Plus l'énergie de liaison est élevée, plus le noyau est stable.

Pour comparer la stabilité des noyaux entre eux, on utilise l'énergie de liaison par nucléon ($E_L/A$), où $A$ est le nombre de masse. $E_L/A = \frac{\Delta m \cdot c^2}{A}$ Elle est souvent exprimée en MeV par nucléon (Megaélectronvolt par nucléon). $1 \text{ MeV} = 1,602 \times 10^{-13} \text{ J}$.

La courbe d'Aston est une représentation graphique de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse (A).

• Elle montre que l'énergie de liaison par nucléon augmente rapidement pour les noyaux légers, atteint un maximum pour les noyaux de masse intermédiaire (autour de $A \approx 50-60$, comme le Fer 56 $^ {56}_{26}Fe$), puis diminue lentement pour les noyaux lourds.
• Les noyaux situés au sommet de la courbe (le fer 56 est le plus stable) sont les noyaux les plus stables.

Cette courbe explique pourquoi certaines réactions nucléaires libèrent de l'énergie :

• Fission nucléaire: La division d'un noyau lourd (ex: Uranium, Plutonium) en deux noyaux plus légers. Les noyaux fils ont une énergie de liaison par nucléon plus élevée que le noyau père, ce qui libère une grande quantité d'énergie. C'est le principe des centrales nucléaires et des bombes atomiques.
• Fusion nucléaire: La combinaison de deux noyaux très légers (ex: Deutérium, Tritium) pour former un noyau plus lourd. Le noyau fils a une énergie de liaison par nucléon beaucoup plus élevée que les noyaux pères, libérant une quantité d'énergie considérable. C'est le principe des étoiles (comme le Soleil) et des bombes thermonucléaires.

Les réactions de fission et de fusion tendent à former des noyaux plus stables, c'est-à-dire avec une énergie de liaison par nucléon plus élevée.

Lors d'une réaction nucléaire, l'énergie libérée (ou absorbée) peut être calculée à partir de la variation de masse entre les réactifs et les produits.

Considérons une réaction nucléaire générale : $A + B \rightarrow C + D$

1. Calculer le bilan de masse ($\Delta M$): Le bilan de masse est la différence entre la somme des masses des produits et la somme des masses des réactifs. $\Delta M = (m_C + m_D) - (m_A + m_B)$ Il est plus facile de calculer le bilan de masse en utilisant les masses atomiques (incluant les électrons) car le nombre d'électrons est conservé lors d'une réaction nucléaire (sauf pour la désintégration $\beta^+$ où un positron est émis).

2. Calculer l'énergie libérée ($E$): L'énergie libérée est donnée par la relation d'Einstein, avec un signe opposé au bilan de masse pour indiquer qu'une diminution de masse correspond à une libération d'énergie. $E = -\Delta M \cdot c^2$

   • Si $\Delta M < 0$, alors $E > 0$ : la réaction est exothermique (libère de l'énergie). C'est le cas des réactions de fission et de fusion.
   • Si $\Delta M > 0$, alors $E < 0$ : la réaction est endothermique (absorbe de l'énergie).

L'énergie est souvent exprimée en MeV ou en Joules (J). Pour la conversion, on utilise :

• $1 \text{ u.m.a.} \approx 931,5 \text{ MeV/c}^2$ (où u.m.a. est l'unité de masse atomique).
• $1 \text{ eV} = 1,602 \times 10^{-19} \text{ J}$.

Exemple de calcul pour une fission : Soit la fission d'un noyau d'Uranium 235 : $^{235}_{92}U + ^1_0n \rightarrow ^{141}_{56}Ba + ^{92}_{36}Kr + 3 ^1_0n$

1. Masse des réactifs : $m(^{235}U) + m(^1n)$
2. Masse des produits : $m(^{141}Ba) + m(^{92}Kr) + 3 \cdot m(^1n)$
3. Calcul de $\Delta M$. On trouverait $\Delta M < 0$.
4. Calcul de l'énergie $E = -\Delta M \cdot c^2$. L'énergie libérée est considérable.

Ces calculs sont fondamentaux pour comprendre le fonctionnement des réacteurs nucléaires et des armes nucléaires.