La mécanique des solides et des structures

Pour simplifier l'étude, nous commençons souvent par une hypothèse clé : celle du solide indéformable.

Un solide indéformable (ou solide rigide) est un modèle théorique où la distance entre deux points quelconques du solide reste constante, quelles que soient les forces appliquées. En d'autres termes, le solide ne se déforme pas, ne s'étire pas, ne se plie pas et ne se tord pas. C'est une simplification très utile pour la statique et la cinématique, bien que dans la réalité, tous les matériaux se déforment plus ou moins.

Pourquoi cette simplification ?

• Elle permet de négliger les déformations internes et de se concentrer sur le mouvement d'ensemble du corps.
• Elle simplifie énormément les équations et les calculs.

Degrés de liberté

Un solide indéformable dans l'espace a six degrés de liberté (DDL). Ces DDL représentent le nombre minimum de paramètres indépendants nécessaires pour définir complètement la position et l'orientation du solide dans l'espace.

• 3 DDL de translation : le solide peut se déplacer le long des axes X, Y et Z (par exemple, un point de référence comme son centre de masse).
• 3 DDL de rotation : le solide peut tourner autour des axes X, Y et Z.

Imaginez un drone en vol libre : il peut se déplacer de haut en bas, de gauche à droite, d'avant en arrière (3 translations) et il peut aussi piquer du nez, s'incliner sur le côté ou tourner sur lui-même (3 rotations).

Repérage d'un solide

Pour décrire la position et l'orientation d'un solide, nous avons besoin d'un repère de référence.

1. Position d'un point : On choisit généralement un point de référence sur le solide (souvent son centre de masse G) et on décrit sa position par ses coordonnées $(x_G, y_G, z_G)$ dans un repère fixe $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$.
2. Orientation du solide : On attache un repère local $(G, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ au solide. L'orientation de ce repère par rapport au repère fixe est décrite par des angles (par exemple, les angles d'Euler ou de Cardan).

Les actions mécaniques sont tout ce qui tend à modifier le mouvement ou la forme d'un corps. Elles peuvent être de deux types principaux :

1. Actions à distance : Elles s'exercent sans contact direct. L'exemple le plus courant est le poids (force de gravité) qui s'applique au centre de masse du solide.
2. Actions de contact : Elles résultent d'un contact physique entre deux corps. Exemples : la poussée d'un doigt, l'appui d'une roue sur le sol, la force exercée par une liaison mécanique.

Force

Une force est une action mécanique ponctuelle ou répartie, caractérisée par :

• Un point d'application
• Une direction (la droite d'action)
• Un sens
• Une intensité (ou norme, en Newtons - N)

Graphiquement, une force est représentée par un vecteur.

Moment

Un moment est la capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe. Le moment $\vec{M}_A(\vec{F})$ d'une force $\vec{F}$ appliquée en un point P, par rapport à un point A, est donné par le produit vectoriel : $\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AP} \wedge \vec{F}$ L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m).

Torseur d'actions mécaniques

Pour modéliser l'ensemble des actions mécaniques exercées sur un solide par un autre solide, on utilise un outil mathématique appelé le torseur. Un torseur est un champ de vecteurs équiprojectif. Pour nous, il est caractérisé par deux vecteurs en un point donné :

1. La résultante $\vec{R}$ : somme vectorielle de toutes les forces appliquées.
2. Le moment résultant $\vec{M}_A$ : somme vectorielle de tous les moments des forces par rapport à ce point A.

Le torseur $\mathcal{T}$ en un point A s'écrit : $\mathcal{T}_A = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\}_A$ Le point A est appelé le point de réduction du torseur. Si on change de point de réduction (de A à B), le moment résultant change selon la formule de Varignon : $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \wedge \vec{R}$ Ceci est une propriété fondamentale des torseurs !

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est la pierre angulaire de l'étude de l'équilibre des solides. Il stipule que pour qu'un solide indéformable soit en équilibre (c'est-à-dire immobile ou en mouvement rectiligne uniforme), la somme de toutes les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui doit être nulle.

Équilibre d'un solide

Un solide est en équilibre si :

1. La somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle (équilibre en translation).
2. La somme vectorielle des moments des forces extérieures par rapport à n'importe quel point est nulle (équilibre en rotation).

Réduction des torseurs

Le PFS s'exprime de manière très concise avec les torseurs. Pour un solide en équilibre, le torseur des actions mécaniques extérieures est le torseur nul. Si $\mathcal{T}_{ext}$ est le torseur des actions extérieures s'appliquant sur le solide S au point A, alors : $\mathcal{T}_{ext} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_{ext} \\ \vec{M}_{A, ext} \end{array} \right\}_A = \left\{ \begin{array}{c} \vec{0} \\ \vec{0} \end{array} \right\}_A$

Cela se traduit par deux équations vectorielles :

1. Équation des résultantes : $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$
2. Équation des moments : $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ (valable pour n'importe quel point A)

Ces deux équations vectorielles fournissent un total de 6 équations scalaires (3 pour les forces, 3 pour les moments) dans un espace à 3 dimensions. Elles permettent de déterminer jusqu'à 6 inconnues.

Application du PFS

La démarche pour appliquer le PFS est la suivante :

1. Isoler le solide (ou l'ensemble de solides) dont on veut étudier l'équilibre. C'est l'étape la plus cruciale ! On dessine le solide "coupé" de son environnement.
2. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures s'appliquant sur le solide isolé. On identifie toutes les forces et moments (poids, actions des liaisons, actions de contact externes).
3. Écrire le torseur des actions mécaniques extérieures au point de réduction le plus judicieux (souvent un point où il y a beaucoup d'inconnues ou une liaison).
4. Appliquer le PFS en posant la résultante et le moment résultant égaux au vecteur nul.
5. Résoudre le système d'équations pour trouver les inconnues.

Une liaison mécanique est un contact entre deux solides qui limite leurs mouvements relatifs. Elles sont modélisées pour représenter la manière dont les pièces sont connectées et les mouvements qu'elles autorisent ou bloquent. Chaque liaison est caractérisée par le nombre de degrés de liberté qu'elle supprime.

Liaisons usuelles

Voici quelques exemples de liaisons courantes et leurs caractéristiques :

Degrés de liberté bloqués

Le nombre de DDL bloqués par une liaison correspond au nombre d'équations scalaires qu'elle va générer dans le PFS, car elle transmet des efforts (forces et moments) pour empêcher ces mouvements. Une liaison qui bloque 3 DDL transmettra 3 composantes d'effort.

Modélisation des liaisons

Lors de la modélisation, il est essentiel de choisir la bonne liaison pour représenter le comportement réel des pièces. Une liaison parfaite est une abstraction qui suppose une absence de frottement et une rigidité parfaite. Dans la réalité, des frottements existent et les pièces se déforment.

Chaque liaison, en bloquant des degrés de liberté, est capable de transmettre des efforts mécaniques. Ces efforts sont modélisés par un torseur d'actions mécaniques, appelé torseur de liaison.

Inconnues de liaison

Les composantes du torseur de liaison qui correspondent aux DDL bloqués par la liaison sont appelées les inconnues de liaison. Ce sont ces inconnues que nous cherchons à déterminer avec le PFS.

Par exemple, pour une liaison pivot d'axe $(A, \vec{z})$ entre le solide 1 et le solide 2 :

• Elle bloque 3 translations ($T_x, T_y, T_z$) et 2 rotations ($R_x, R_y$).
• Elle transmet donc 3 forces et 2 moments.
• Son torseur de liaison $\mathcal{T}_{1 \to 2}$ au point A s'écrit : $\mathcal{T}_{1 \to 2}(A) = \left\{ \begin{array}{c} X_A \vec{x} + Y_A \vec{y} + Z_A \vec{z} \\ L_A \vec{x} + M_A \vec{y} + 0 \vec{z} \end{array} \right\}_A$ Où $X_A, Y_A, Z_A, L_A, M_A$ sont les 5 inconnues de liaison. La composante du moment $N_A$ est nulle car la rotation autour de $\vec{z}$ est permise.

Torseur statique

Le torseur statique d'une liaison est le torseur des efforts que la liaison est capable de transmettre. Ses composantes non nulles représentent les efforts (forces ou moments) qu'elle exerce pour empêcher les mouvements.

Torseur cinématique

Le torseur cinématique d'une liaison décrit les mouvements relatifs permis (les DDL restants). Si le torseur cinématique de la liaison entre S1 et S2 est $\mathcal{V}_{S2/S1}(A)$, ses composantes cinématiques non nulles sont les vitesses et rotations relatives permises. Il y a une dualité importante : si une composante cinématique est nulle (mouvement bloqué), la composante statique correspondante est non nulle (effort transmis). Et inversement.

La résolution de problèmes de statique est une compétence clé en Sciences de l'Ingénieur. Elle permet de dimensionner des pièces, de vérifier la tenue des structures et de comprendre le fonctionnement des mécanismes.

Isolement de solides

C'est la première étape et la plus importante !

1. Définir le système étudié : De quel solide ou de quel ensemble de solides veut-on étudier l'équilibre ?
2. Tracer le solide isolé : On le représente seul, en coupant toutes ses connexions avec l'extérieur.
3. Représenter toutes les actions extérieures :
   • Les forces connues (poids, forces appliquées).
   • Les actions des liaisons : on représente les vecteurs forces et moments correspondant aux inconnues de liaison. Attention au sens ! Si on se trompe de sens, le calcul donnera une valeur négative, ce qui est correct.

Application du PFS

Une fois le solide isolé et les actions modélisées, on applique le PFS :

1. Choix du repère : Un repère cartésien $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est généralement utilisé.
2. Projection des équations :
   • $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \implies \left\{ \begin{array}{l} \sum F_{x, ext} = 0 \\ \sum F_{y, ext} = 0 \\ \sum F_{z, ext} = 0 \end{array} \right.$
   • $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \vec{0} \implies \left\{ \begin{array}{l} \sum M_{Ax, ext} = 0 \\ \sum M_{Ay, ext} = 0 \\ \sum M_{Az, ext} = 0 \end{array} \right.$ Le choix du point A pour les moments est stratégique : on le choisit souvent là où le maximum d'inconnues de liaison sont appliquées pour annuler un maximum de termes dans les équations de moment.

Méthodes de résolution

1. Méthode analytique : C'est la plus courante. Elle consiste à écrire les équations scalaires du PFS et à résoudre le système d'équations.
   • Utiliser la relation de Varignon pour simplifier le calcul des moments.
   • Organiser les équations et les résoudre par substitution, combinaison linéaire, ou méthode matricielle pour les systèmes complexes.
2. Méthode graphique (pour les cas plans simples) :
   • Pour un solide soumis à deux forces, celles-ci doivent être directement opposées et colinéaires.
   • Pour un solide soumis à trois forces, leurs lignes d'action doivent être concourantes (se couper en un même point) ou parallèles. On peut alors utiliser le dynamique des forces (triangle des forces) pour déterminer les inconnues graphiquement. Cette méthode est moins précise mais offre une bonne visualisation.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d'un point P d'un solide, noté $\vec{V}_{P \in S / R}$, décrit la variation de sa position par rapport au temps dans un repère R. Si $P(x(t), y(t), z(t))$ dans R, alors $\vec{V}_{P \in S / R} = \frac{d\vec{OP}}{dt} = \dot{x}\vec{x} + \dot{y}\vec{y} + \dot{z}\vec{z}$.

• Mouvement de translation : Tous les points du solide ont à tout instant le même vecteur vitesse. Le solide se déplace sans changer d'orientation.

  • Exemple : un ascenseur qui monte.
  • $\vec{V}_{P \in S / R} = \vec{V}_{A \in S / R}$ pour tout point P et A du solide.

• Mouvement de rotation : Le solide tourne autour d'un axe fixe. Tous les points décrivent des cercles centrés sur l'axe de rotation.

  • Exemple : une roue qui tourne.
  • Le vecteur rotation $\vec{\Omega}_{S/R}$ caractérise ce mouvement. Sa direction est celle de l'axe de rotation, son sens est donné par la règle du tire-bouchon, et sa norme est la vitesse angulaire $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ (en rad/s).
  • Pour un point P du solide en rotation autour d'un axe $\Delta$ passant par A : $\vec{V}_{P \in S / R} = \vec{V}_{A \in S / R} + \vec{\Omega}_{S/R} \wedge \vec{AP}$ Si A est sur l'axe de rotation et fixe ($\vec{V}_{A \in S / R} = \vec{0}$), alors $\vec{V}_{P \in S / R} = \vec{\Omega}_{S/R} \wedge \vec{AP}$.

Vecteur accélération

Le vecteur accélération d'un point P, noté $\vec{a}_{P \in S / R}$, décrit la variation de son vecteur vitesse par rapport au temps. $\vec{a}_{P \in S / R} = \frac{d\vec{V}_{P \in S / R}}{dt}$ Pour un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, l'accélération d'un point P peut être décomposée en une composante tangentielle et une composante normale (centripète).

Changement de repère

Lorsqu'un solide est en mouvement par rapport à un repère R, et que ce repère R est lui-même en mouvement par rapport à un repère R0 (repère absolu), il faut utiliser les formules de composition des mouvements pour déterminer la vitesse et l'accélération.

La composition des mouvements est essentielle quand on étudie des mécanismes où les solides ont des mouvements relatifs les uns par rapport aux autres, et où l'ensemble bouge par rapport à un repère fixe.

Formule de composition des vitesses

Soit un point P appartenant à un solide S, en mouvement par rapport à un repère mobile $R_1$. Ce repère $R_1$ est lui-même en mouvement par rapport à un repère fixe $R_0$. La vitesse absolue du point P (par rapport à $R_0$) est la somme de trois termes : $\vec{V}_{P \in S / R_0} = \vec{V}_{P \in S / R_1} + \vec{V}_{P \in R_1 / R_0}$

• $\vec{V}_{P \in S / R_0}$ : Vitesse absolue (vitesse de P par rapport au repère fixe $R_0$).
• $\vec{V}_{P \in S / R_1}$ : Vitesse relative (vitesse de P par rapport au repère mobile $R_1$, comme si $R_1$ était fixe).
• $\vec{V}_{P \in R_1 / R_0}$ : Vitesse d'entraînement (vitesse du point P s'il était fixe dans $R_1$, ou vitesse du point de $R_1$ qui coïncide avec P à cet instant, par rapport à $R_0$).

La vitesse d'entraînement est souvent exprimée par la formule de Varignon des vitesses : $\vec{V}_{P \in R_1 / R_0} = \vec{V}_{O_1 \in R_1 / R_0} + \vec{\Omega}_{R_1 / R_0} \wedge \vec{O_1 P}$ Où $O_1$ est l'origine du repère mobile $R_1$ et $\vec{\Omega}_{R_1 / R_0}$ est le vecteur rotation du repère $R_1$ par rapport à $R_0$.

Formule de composition des accélérations

La formule pour l'accélération est plus complexe et inclut un terme supplémentaire : l'accélération de Coriolis. $\vec{a}_{P \in S / R_0} = \vec{a}_{P \in S / R_1} + \vec{a}_{P \in R_1 / R_0} + \vec{a}_{Coriolis}$

• $\vec{a}_{P \in S / R_0}$ : Accélération absolue.
• $\vec{a}_{P \in S / R_1}$ : Accélération relative.
• $\vec{a}_{P \in R_1 / R_0}$ : Accélération d'entraînement.
• $\vec{a}_{Coriolis} = 2 \vec{\Omega}_{R_1 / R_0} \wedge \vec{V}_{P \in S / R_1}$ : Accélération de Coriolis. Ce terme apparaît lorsque le point P est en mouvement dans un repère lui-même en rotation. C'est un effet souvent contre-intuitif mais crucial (météorologie, balistique, etc.).

Centre Instantané de Rotation (CIR)

Pour un mouvement plan d'un solide S par rapport à un repère R, s'il n'est pas en translation pure, il existe toujours un point, appelé Centre Instantané de Rotation (CIR), dont la vitesse est nulle à cet instant précis.

• Propriétés du CIR :
  • La vitesse de tout autre point P du solide est perpendiculaire au segment joignant P au CIR.
  • La norme de la vitesse d'un point P est $V_P = \omega \cdot IP$, où $I$ est le CIR et $\omega$ est la vitesse angulaire du solide.
• Détermination du CIR :
  • Si on connaît la direction des vitesses de deux points A et B du solide non alignés avec le CIR : le CIR est à l'intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesses $\vec{V}_A$ et $\vec{V}_B$.
  • Si on connaît la vitesse d'un point A et la direction de la vitesse d'un autre point B : le CIR est à l'intersection de la perpendiculaire à $\vec{V}_A$ passant par A et de la droite d'action de $\vec{V}_B$. Le CIR est un outil très puissant pour l'analyse cinématique des mécanismes plans.

La cinématique est essentielle pour l'analyse et la conception des mécanismes.

Analyse cinématique de mécanismes simples

L'objectif est de déterminer les vitesses et accélérations des différents éléments d'un mécanisme en fonction de la vitesse d'entrée (par exemple, la vitesse de rotation d'un moteur).

• Méthode des CIR : Très efficace pour les mécanismes plans comportant plusieurs solides. On identifie les CIR de chaque solide par rapport au repère fixe, puis les CIR relatifs entre solides.
• Méthode des torseurs cinématiques : Chaque liaison entre deux solides $S_i$ et $S_j$ est caractérisée par un torseur cinématique $\mathcal{V}_{S_j/S_i}(A)$ qui exprime les mouvements relatifs permis (vitesses et rotations).

Chaînes cinématiques

Une chaîne cinématique est un ensemble de solides liés entre eux.

• Chaîne ouverte : Les solides ne forment pas de boucle (ex: un bras robotisé).
• Chaîne fermée : Les solides forment une ou plusieurs boucles (ex: un système bielle-manivelle). L'étude des chaînes fermées est plus complexe car les mouvements de chaque solide sont interdépendants.

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire $\omega$ (en rad/s) est la norme du vecteur rotation. Elle est cruciale pour décrire la rotation des solides et est souvent donnée comme une entrée ou une sortie dans les problèmes de mécanismes. Relation fondamentale : $V = R \omega$ pour un point en rotation à une distance R de l'axe.

Les TGD sont l'extension du PFS aux systèmes en mouvement. Ils relient les actions mécaniques extérieures à la variation de la quantité de mouvement et du moment cinétique du solide.

Théorème de la résultante dynamique (TRD)

Le TRD établit que la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement. La quantité de mouvement d'un solide S est le produit de sa masse M par la vitesse de son centre d'inertie G : $\vec{P}_S = M \cdot \vec{V}_{G \in S / R}$. $\sum \vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{P}_S}{dt} = M \cdot \vec{a}_{G \in S / R}$ C'est une généralisation de la deuxième loi de Newton ($\vec{F}=m\vec{a}$) appliquée au centre d'inertie du solide.

Théorème du moment dynamique (TMD)

Le TMD stipule que la somme des moments des forces extérieures appliquées à un solide, par rapport à un point A, est égale à la dérivée par rapport au temps de son moment cinétique par rapport à ce même point A, plus un terme correctif si A est en mouvement. Le moment cinétique d'un solide S par rapport à un point A est : $\vec{L}_{A \in S / R} = \int_S \vec{AP} \wedge \vec{V}_{P \in S / R} dm$. Pour un point A fixe dans le repère R ou confondu avec le centre d'inertie G : $\sum \vec{M}_A(\vec{F}_{ext}) = \frac{d\vec{L}_{A \in S / R}}{dt}$ Si A = G (centre d'inertie) : $\sum \vec{M}_G(\vec{F}_{ext}) = \frac{d\vec{L}_{G \in S / R}}{dt}$ Dans le cas d'un solide en rotation autour d'un axe fixe passant par G, et si l'axe est un axe principal d'inertie, on a $\vec{L}_{G \in S / R} = I_G \cdot \vec{\Omega}_{S/R}$, où $I_G$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe. Alors le TMD devient : $\sum \vec{M}_G(\vec{F}_{ext}) = I_G \cdot \dot{\vec{\Omega}}_{S/R} = I_G \cdot \vec{\alpha}_{S/R}$ (avec $\vec{\alpha}$ l'accélération angulaire).

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle conservée en l'absence de forces extérieures. Elle est cruciale pour l'étude des chocs et des propulsions.

Les concepts d'énergie permettent une approche alternative et souvent plus simple pour résoudre certains problèmes de dynamique, notamment quand les forces sont conservatives.

Énergie cinétique d'un solide

L'énergie cinétique d'un solide S en mouvement est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement. Pour un solide en mouvement quelconque dans l'espace, l'énergie cinétique $E_c$ est donnée par le théorème de König : $E_c = \frac{1}{2} M V_G^2 + \frac{1}{2} \vec{\Omega}_{S/R} \cdot [\mathbb{I}_G] \cdot \vec{\Omega}_{S/R}$

• Le premier terme est l'énergie cinétique de translation du centre de masse.
• Le second terme est l'énergie cinétique de rotation autour du centre de masse. $[\mathbb{I}_G]$ est le tenseur d'inertie du solide au centre d'inertie G.

Pour un mouvement plan ou une rotation autour d'un axe fixe passant par G, cette formule se simplifie : $E_c = \frac{1}{2} M V_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2$ Où $I_G$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation passant par G, et $\omega$ est la vitesse angulaire.

Travail d'une force

Le travail $W$ d'une force $\vec{F}$ pour un déplacement $\vec{dl}$ de son point d'application est : $dW = \vec{F} \cdot \vec{dl}$ Pour un déplacement fini de A à B : $W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F} \cdot \vec{dl}$.

• Si la force est constante et le déplacement rectiligne : $W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$.
• Le travail d'un moment $\vec{M}$ pour une rotation $d\theta$ est : $dW = M d\theta$.

Théorème de l'énergie cinétique (TEC)

Le TEC stipule que la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures s'exerçant sur lui pendant cet intervalle de temps. $\Delta E_c = E_{c2} - E_{c1} = \sum W_{ext}$ Le TEC est particulièrement utile lorsque les forces ne dépendent pas du temps mais de la position, ou lorsque l'on s'intéresse à des grandeurs scalaires comme la vitesse ou l'énergie.

Calcul des efforts dynamiques

En dynamique, les efforts (forces et moments) ne sont plus nuls comme en statique. Ils sont nécessaires pour produire les accélérations. Les TGD permettent de calculer ces efforts dynamiques. Exemple : lors d'un freinage, la force de freinage est l'effort dynamique qui provoque la décélération du véhicule.

Étude de chocs

Les chocs sont des interactions de très courte durée où des forces impulsives très importantes agissent.

• Pendant un choc, le TRD s'écrit sous forme intégrale : $\int_{t_1}^{t_2} \sum \vec{F}_{ext} dt = \vec{P}_{S2} - \vec{P}_{S1}$. L'intégrale du force est appelée l'impulsion.
• Si les forces extérieures non impulsives sont négligeables pendant le choc, la quantité de mouvement totale du système est conservée.

Systèmes avec frottement

Les forces de frottement sont des forces dissipatives (elles transforment l'énergie mécanique en chaleur).

• En statique, le frottement peut empêcher le mouvement (adhérence).
• En dynamique, le frottement s'oppose au mouvement (cinétique). Le travail des forces de frottement est toujours négatif ($W_{frottement} < 0$), car elles s'opposent au déplacement. Elles réduisent l'énergie mécanique du système.

Ces deux concepts sont les piliers de la RDM.

Contrainte normale

La contrainte normale ($\sigma$) représente l'intensité des forces internes perpendiculaires à une section donnée d'un matériau. Elle est la résultante des forces de traction ou de compression réparties sur la surface de cette section. $\sigma = \frac{F}{S_0}$ Où $F$ est la force normale (perpendiculaire à la section) et $S_0$ est l'aire de la section transversale. L'unité de la contrainte est le Pascal (Pa), souvent le MégaPascal (MPa) en ingénierie ($1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ Pa}$).

• $\sigma > 0$ : contrainte de traction (le matériau est étiré).
• $\sigma < 0$ : contrainte de compression (le matériau est comprimé).

Contrainte tangentielle

La contrainte tangentielle (ou de cisaillement, notée $\tau$) représente l'intensité des forces internes parallèles à une section donnée du matériau. Elle tend à faire glisser une partie du matériau par rapport à l'autre. $\tau = \frac{F_t}{S_0}$ Où $F_t$ est la force tangentielle (parallèle à la section) et $S_0$ est l'aire de la section. L'unité est aussi le Pascal (Pa).

Déformation unitaire

La déformation unitaire (ou allongement relatif, notée $\epsilon$ pour la déformation normale, et $\gamma$ pour le cisaillement) est la mesure de la déformation d'un matériau par rapport à sa dimension initiale. C'est une grandeur sans dimension.

• Déformation normale ($\epsilon$) : Pour une barre étirée ou comprimée de longueur initiale $L_0$ et dont la variation de longueur est $\Delta L$ : $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$
• Déformation de cisaillement ($\gamma$) : Représente la variation de l'angle d'un élément de matière soumis à un cisaillement. Elle est souvent exprimée en radians.

La Loi de Hooke est une relation fondamentale en RDM qui décrit le comportement élastique des matériaux.

Module de Young

La Loi de Hooke pour la traction/compression élastique stipule que la contrainte normale est proportionnelle à la déformation normale : $\sigma = E \cdot \epsilon$ Le coefficient de proportionnalité $E$ est le Module de Young (ou module d'élasticité longitudinale). Il caractérise la rigidité du matériau : un E élevé signifie que le matériau est rigide et se déforme peu sous contrainte. Son unité est le Pascal (Pa).

Coefficient de Poisson

Lorsque l'on étire un matériau dans une direction, il a tendance à se contracter dans les directions transversales. Le coefficient de Poisson ($\nu$) quantifie ce phénomène : $\nu = - \frac{\epsilon_{transversale}}{\epsilon_{longitudinale}}$ C'est une grandeur sans dimension, généralement comprise entre 0 et 0,5 pour les matériaux courants. Plus $\nu$ est proche de 0,5, plus le matériau est incompressible (ex: caoutchouc).

Limite élastique

La limite élastique ($\sigma_e$) est la contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente (plastique). Au-delà de cette limite, le matériau ne retrouve pas sa forme initiale après suppression de la charge. C'est une caractéristique cruciale pour le dimensionnement des pièces afin d'assurer leur intégrité structurelle.

Les sollicitations simples sont des cas idéalisés de chargement qui permettent d'analyser le comportement des pièces.

Traction/Compression

Une pièce est soumise à de la traction si des forces tendent à l'allonger, ou à de la compression si des forces tendent à la raccourcir.

• Contrainte normale : $\sigma = F/S_0$.
• Déformation normale : $\epsilon = \Delta L / L_0$.
• Loi de Hooke : $\sigma = E \epsilon$. Ces calculs sont valables pour des poutres de section constante et des forces axiales.

Cisaillement

Une pièce est soumise à du cisaillement lorsque des forces agissent parallèlement à une section, tendant à faire glisser une partie par rapport à l'autre.

• Contrainte tangentielle : $\tau = F_t / S_0$.
• Déformation de cisaillement : $\gamma$.
• Loi de Hooke pour le cisaillement : $\tau = G \gamma$. $G$ est le Module de cisaillement (ou module de rigidité), lié à E et $\nu$ par $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$.

Flexion simple

Une pièce est soumise à de la flexion simple lorsqu'elle est sollicitée par des forces qui tendent à la courber.

• Cela crée des contraintes normales (traction d'un côté, compression de l'autre) et des contraintes tangentielles.
• La contrainte normale maximale en flexion est donnée par la formule de Navier : $\sigma_{max} = \frac{M_f}{I_z / v} = \frac{M_f}{W_z}$ Où $M_f$ est le moment fléchissant, $I_z$ est le moment quadratique de la section par rapport à l'axe neutre, $v$ est la distance de l'axe neutre à la fibre la plus éloignée, et $W_z$ est le module de flexion. La flexion est une sollicitation très courante pour les poutres et les arbres. C'est elle qui est responsable de la rupture de nombreuses structures si elles ne sont pas correctement dimensionnées.