Calcul littéral : identités remarquables

Le calcul littéral est une branche des mathématiques où l'on utilise des lettres (appelées variables) pour représenter des nombres inconnus ou des quantités qui peuvent changer. Ces lettres sont combinées avec des nombres (appelés constantes) et des opérations ($+$, $-$, $\times$, $/$) pour former des expressions littérales.

• Variable : Une lettre qui peut prendre différentes valeurs numériques (ex: $x$, $y$, $a$, $b$).
• Constante : Un nombre dont la valeur est fixe (ex: $2$, $-5$, $\pi$).
• Expression littérale : Une suite de calculs contenant des variables et des constantes (ex: $3x + 7$, $a^2 - b$).

L'objectif est souvent de simplifier ces expressions, de les développer ou de les factoriser.

La distributivité simple est une propriété fondamentale qui permet de transformer un produit en une somme (ou une différence). Elle indique que multiplier un nombre par une somme (ou une différence) revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme (ou de la différence), puis à additionner (ou soustraire) les résultats.

La formule générale est : $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ ou plus simplement : ==$k(a + b) = ka + kb$==

Exemple : Développer l'expression $3(x + 5)$. $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$.

La double distributivité est utilisée pour développer le produit de deux sommes algébriques (deux parenthèses multipliées entre elles). Chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse.

La formule générale est : $(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$ ou plus simplement : ==$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$==

Méthode de développement :

1. Multiplier le premier terme de la première parenthèse par tous les termes de la deuxième parenthèse.
2. Multiplier le deuxième terme de la première parenthèse par tous les termes de la deuxième parenthèse.
3. Réduire les termes semblables (regrouper les termes avec la même variable et la même puissance).

Exemple : Développer l'expression $(x + 2)(x - 3)$. $(x + 2)(x - 3) = x \times x + x \times (-3) + 2 \times x + 2 \times (-3)$ $= x^2 - 3x + 2x - 6$ $= x^2 - x - 6$.

Le carré d'une somme est le résultat du produit d'une expression par elle-même : $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$. En utilisant la double distributivité : $(a + b)(a + b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$ $= a^2 + ab + ab + b^2$ ==$= a^2 + 2ab + b^2$==

Formule de l'identité remarquable : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Cette formule est à connaître par cœur !

Pour développer une expression de la forme $(a + b)^2$ :

1. Identifier qui est $a$ et qui est $b$ dans l'expression.
2. Substituer ces valeurs dans la formule $a^2 + 2ab + b^2$.
3. Calculer et simplifier.

Exemples :

• Développer $(x + 3)^2$. Ici, $a = x$ et $b = 3$. $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

• Développer $(2y + 5)^2$. Ici, $a = 2y$ et $b = 5$. $(2y + 5)^2 = (2y)^2 + 2 \times (2y) \times 5 + 5^2 = 4y^2 + 20y + 25$.

Erreurs courantes : Ne pas oublier le terme du milieu $2ab$ ! $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$. Par exemple, $(1+2)^2 = 3^2 = 9$, mais $1^2+2^2 = 1+4 = 5$.

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. Pour factoriser une expression de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ :

1. Reconnaître la structure : trois termes, dont deux sont des carrés parfaits et le troisième est le double produit des racines carrées des deux premiers.
2. Identifier $a$ et $b$ à partir des termes au carré.
3. Vérifier que le terme du milieu correspond bien à $2ab$.
4. Écrire l'expression sous la forme $(a + b)^2$.

Exemple : Factoriser $x^2 + 10x + 25$.

• On observe que $x^2$ est le carré de $x$ (donc $a = x$).
• On observe que $25$ est le carré de $5$ (donc $b = 5$).
• Vérifions le terme du milieu : $2ab = 2 \times x \times 5 = 10x$. Cela correspond !
• Donc, $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

Le carré d'une différence est similaire au carré d'une somme : $(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$. En utilisant la double distributivité : $(a - b)(a - b) = a \times a + a \times (-b) + (-b) \times a + (-b) \times (-b)$ $= a^2 - ab - ab + b^2$ ==$= a^2 - 2ab + b^2$==

Formule de l'identité remarquable : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ La seule différence avec la première identité est le signe du terme du milieu.

Pour développer une expression de la forme $(a - b)^2$ :

1. Identifier qui est $a$ et qui est $b$.
2. Substituer ces valeurs dans la formule $a^2 - 2ab + b^2$.
3. Calculer et simplifier, en faisant attention aux signes.

Exemples :

• Développer $(x - 4)^2$. Ici, $a = x$ et $b = 4$. $(x - 4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

• Développer $(3y - 1)^2$. Ici, $a = 3y$ et $b = 1$. $(3y - 1)^2 = (3y)^2 - 2 \times (3y) \times 1 + 1^2 = 9y^2 - 6y + 1$.

Pour factoriser une expression de la forme $a^2 - 2ab + b^2$ :

1. Reconnaître la structure : trois termes, deux carrés parfaits et un terme négatif au milieu.
2. Identifier $a$ et $b$ à partir des termes au carré.
3. Vérifier que le terme du milieu correspond bien à $-2ab$.
4. Écrire l'expression sous la forme $(a - b)^2$.

Exemple : Factoriser $4x^2 - 12x + 9$.

• On observe que $4x^2$ est le carré de $2x$ (donc $a = 2x$).
• On observe que $9$ est le carré de $3$ (donc $b = 3$).
• Vérifions le terme du milieu : $-2ab = -2 \times (2x) \times 3 = -12x$. Cela correspond !
• Donc, $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.

Le produit d'une somme par une différence est la troisième identité remarquable. En utilisant la double distributivité : $(a + b)(a - b) = a \times a + a \times (-b) + b \times a + b \times (-b)$ $= a^2 - ab + ab - b^2$ $= a^2 - b^2$ (les termes $-ab$ et $+ab$ s'annulent) ==$= a^2 - b^2$==

Formule de l'identité remarquable : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ C'est la plus simple à retenir !

Pour développer une expression de la forme $(a + b)(a - b)$ :

1. Identifier qui est $a$ et qui est $b$.
2. Substituer ces valeurs dans la formule $a^2 - b^2$.
3. Calculer les carrés.

Exemples :

• Développer $(x + 5)(x - 5)$. Ici, $a = x$ et $b = 5$. $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$.

• Développer $(3y - 7)(3y + 7)$. Ici, $a = 3y$ et $b = 7$. $(3y - 7)(3y + 7) = (3y)^2 - 7^2 = 9y^2 - 49$.

Pour factoriser une expression de la forme $a^2 - b^2$ :

1. Reconnaître la structure : une différence de deux carrés parfaits.
2. Identifier $a$ et $b$ en prenant la racine carrée de chaque terme.
3. Écrire l'expression sous la forme $(a + b)(a - b)$.

Exemple : Factoriser $x^2 - 81$.

• On observe que $x^2$ est le carré de $x$ (donc $a = x$).
• On observe que $81$ est le carré de $9$ (donc $b = 9$).
• Donc, $x^2 - 81 = (x + 9)(x - 9)$.

Autre exemple : Factoriser $16y^2 - 49$.

• $16y^2 = (4y)^2$ (donc $a = 4y$).
• $49 = 7^2$ (donc $b = 7$).
• Donc, $16y^2 - 49 = (4y + 7)(4y - 7)$.

Souvent, une expression à développer ne correspond pas directement à une seule identité. Il faut alors combiner les méthodes :

1. Identifier les parties de l'expression qui sont des identités remarquables ou des doubles distributivités.
2. Développer chaque partie séparément en respectant l'ordre des opérations (priorité aux parenthèses et aux puissances).
3. Attention aux parenthèses et aux signes : si une identité est précédée d'un signe moins, n'oubliez pas de changer tous les signes des termes développés.
4. Réduire l'expression finale en regroupant les termes semblables.

Exemple : Développer $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3)$.

• $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ (1ère identité)
• $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$ (3ème identité)
• Maintenant, on combine : $(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9)$ $= x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9$ (attention au signe moins devant la parenthèse !) $= 4x + 13$.

La factorisation d'expressions complexes demande de la méthode :

1. Rechercher un facteur commun évident. C'est toujours la première chose à faire !
2. Si pas de facteur commun, chercher une identité remarquable :
   • Si l'expression a deux termes et qu'elle est une différence ($A - B$), elle peut être de la forme $a^2 - b^2$.
   • Si l'expression a trois termes, elle peut être de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$.
3. Parfois, il faut factoriser par étapes : d'abord un facteur commun, puis une identité remarquable, ou l'inverse.

Exemple 1 : Factoriser $5x^2 - 45$.

• Facteur commun $5$ : $5(x^2 - 9)$.
• À l'intérieur de la parenthèse, on reconnaît $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$, qui est de la forme $a^2 - b^2$.
• Donc, $5(x^2 - 9) = 5(x - 3)(x + 3)$.

Exemple 2 : Factoriser $(x + 1)^2 - 4$.

• C'est de la forme $A^2 - B^2$ avec $A = (x + 1)$ et $B = 2$ (car $4 = 2^2$).
• Donc, $((x + 1) - 2)((x + 1) + 2)$ $= (x - 1)(x + 3)$.

Les identités remarquables sont très utiles pour résoudre certaines équations du second degré en les transformant en équations produits nuls. Une équation produit nul est de la forme $(Ax + B)(Cx + D) = 0$. Ses solutions sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur (soit $Ax + B = 0$, soit $Cx + D = 0$).

Exemple : Résoudre l'équation $x^2 - 6x + 9 = 0$.

• On reconnaît la deuxième identité remarquable : $x^2 - 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.
• L'équation devient $(x - 3)^2 = 0$.
• Cela signifie que $x - 3 = 0$.
• Donc, $x = 3$. La solution est $3$.

Exemple : Résoudre l'équation $4x^2 - 25 = 0$.

• On reconnaît la troisième identité remarquable : $(2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$.
• L'équation devient $(2x - 5)(2x + 5) = 0$.
• C'est une équation produit nul :
  • Soit $2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$.
  • Soit $2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$.
• Les solutions sont $\frac{5}{2}$ et $-\frac{5}{2}$.

Les identités remarquables peuvent simplifier le calcul mental de certains nombres.

• Calcul de carrés proches de dizaines :

  • Calculer $101^2$ : $(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
  • Calculer $98^2$ : $(100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.

• Produits de nombres proches :

  • Calculer $23 \times 17$ : On peut écrire $23 = 20 + 3$ et $17 = 20 - 3$. C'est de la forme $(a + b)(a - b)$ avec $a = 20$ et $b = 3$. $(20 + 3)(20 - 3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391$.
  • Calculer $49 \times 51$: $(50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$.

Les expressions littérales sont très utilisées en géométrie pour exprimer des aires, des périmètres ou des volumes en fonction de dimensions variables. Les identités remarquables aident à simplifier ou factoriser ces expressions.

Exemple : Un carré de côté $x+3$. Quelle est son aire ? Aire $= (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

Exemple : On a un grand carré de côté $a$. On découpe dans un coin un petit carré de côté $b$. L'aire restante est $a^2 - b^2$. Si on doit factoriser cette aire pour trouver les dimensions d'un rectangle de même aire, on aura $(a - b)(a + b)$. Ce qui peut être utile pour visualiser la transformation.

Les identités remarquables sont des outils puissants pour prouver des égalités ou des propriétés numériques.

Exemple : Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est toujours un multiple de 4. Soit $n$ un entier. Un nombre impair peut s'écrire $2n+1$. Le nombre impair suivant est $2n+3$. Leur somme : $(2n+1) + (2n+3) = 4n + 4 = 4(n+1)$. Puisque $n+1$ est un entier, $4(n+1)$ est bien un multiple de 4.

Exemple avec identité remarquable : Prouver que pour tout nombre $x$, $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$. Développons le membre de gauche : $(x+1)^2 - (x-1)^2$ $= (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)$ $= x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1$ $= 4x$. L'égalité est prouvée.