Équations du premier degré à une inconnue

En mathématiques, une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues. C'est comme une balance : ce qui est d'un côté doit être égal à ce qui est de l'autre.

• Membre gauche : Tout ce qui se trouve à gauche du signe égal.
• Membre droit : Tout ce qui se trouve à droite du signe égal.
• Le signe égal (=) : Il indique que les deux membres ont la même valeur.

Exemple : $2x + 5 = 11$ Ici, $2x + 5$ est le membre gauche et $11$ est le membre droit.

Pour parler des équations, on utilise un vocabulaire précis :

• Inconnue (ou variable) : C'est la lettre (souvent $x$, $y$, $a$, etc.) dont on cherche la valeur. Cette valeur rend l'égalité vraie.
• Solution d'une équation : C'est la valeur numérique de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Si on remplace l'inconnue par la solution, le membre gauche devient égal au membre droit.
• Équation du premier degré : C'est une équation où l'inconnue n'est jamais élevée à une puissance supérieure à 1 (pas de $x^2$, $x^3$, etc.). On ne trouve pas non plus d'inconnue au dénominateur ou sous une racine carrée. Par exemple, $3x - 7 = 2$ est une équation du premier degré.

Pour savoir si une valeur est la solution d'une équation, il faut la tester :

1. Remplacer l'inconnue par la valeur proposée dans les deux membres de l'équation.
2. Calculer chaque membre séparément.
3. Comparer les résultats :
   • Si les deux résultats sont égaux, la valeur est une solution.
   • Si les deux résultats sont différents, la valeur n'est pas une solution.

Exemple : L'équation est $4x - 3 = 9$. Est-ce que $x = 3$ est une solution ?

• Membre gauche : $4 \times 3 - 3 = 12 - 3 = 9$
• Membre droit : $9$ Comme $9 = 9$, alors $x = 3$ est bien la solution de l'équation.

• Si tu ajoutes le même nombre aux deux membres d'une équation, l'égalité reste vraie. Si $a = b$, alors $a + c = b + c$.
• Si tu soustrais le même nombre aux deux membres d'une équation, l'égalité reste vraie. Si $a = b$, alors $a - c = b - c$.

Ces opérations permettent de déplacer des termes d'un côté à l'autre de l'équation en changeant leur signe. Exemple : $x - 7 = 5$ Pour isoler $x$, on ajoute $7$ aux deux membres : $x - 7 + 7 = 5 + 7$ $x = 12$

• Si tu multiplies les deux membres d'une équation par le même nombre non nul, l'égalité reste vraie. Si $a = b$, alors $a \times c = b \times c$ (avec $c \neq 0$).
• Si tu divises les deux membres d'une équation par le même nombre non nul, l'égalité reste vraie. Si $a = b$, alors $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (avec $c \neq 0$).

Ces opérations sont très utiles pour se débarrasser des coefficients devant l'inconnue ou des dénominateurs. Exemple : $3x = 18$ Pour isoler $x$, on divise par $3$ les deux membres : $\frac{3x}{3} = \frac{18}{3}$ $x = 6$

C'est le concept clé pour la résolution ! Pour "défaire" une opération et isoler l'inconnue, on utilise son opération inverse :

• L'addition est l'opération inverse de la soustraction.
• La soustraction est l'opération inverse de l'addition.
• La multiplication est l'opération inverse de la division.
• La division est l'opération inverse de la multiplication.

Quand tu vois un terme ajouté, tu soustrais. Quand tu vois un terme multiplié, tu divises. Et ainsi de suite, toujours des deux côtés de l'équation !

Pour résoudre ce type d'équations, il faut "annuler" le $+a$ du côté de $x$. On utilise l'opération inverse : la soustraction.

Exemple : $x + 8 = 15$ Je soustrais $8$ des deux côtés : $x + 8 - 8 = 15 - 8$ $x = 7$ Vérification : $7 + 8 = 15$. C'est correct.

Pour résoudre ce type d'équations, il faut "annuler" le $-a$ du côté de $x$. On utilise l'opération inverse : l'addition.

Exemple : $x - 12 = 3$ J'ajoute $12$ des deux côtés : $x - 12 + 12 = 3 + 12$ $x = 15$ Vérification : $15 - 12 = 3$. C'est correct.

Pour résoudre ce type d'équations, il faut "annuler" le $a$ qui multiplie $x$. On utilise l'opération inverse : la division.

Exemple : $5x = 30$ Je divise par $5$ des deux côtés : $\frac{5x}{5} = \frac{30}{5}$ $x = 6$ Vérification : $5 \times 6 = 30$. C'est correct.

Cas où $a$ est un nombre décimal : $2.5x = 10$ $\frac{2.5x}{2.5} = \frac{10}{2.5}$ $x = 4$

Pour résoudre ce type d'équations, il faut "annuler" le $a$ qui divise $x$. On utilise l'opération inverse : la multiplication.

Exemple : $\frac{x}{4} = 7$ Je multiplie par $4$ des deux côtés : $\frac{x}{4} \times 4 = 7 \times 4$ $x = 28$ Vérification : $\frac{28}{4} = 7$. C'est correct.

Cas où $a$ est un nombre décimal : $\frac{x}{0.5} = 6$ $\frac{x}{0.5} \times 0.5 = 6 \times 0.5$ $x = 3$

Quand il y a plusieurs opérations, on applique les opérations inverses dans l'ordre inverse des priorités de calcul (PEMDAS/BODMAS à l'envers). On s'occupe d'abord des additions/soustractions, puis des multiplications/divisions.

Exemple de type $ax + b = c$ : $3x + 4 = 19$

1. On annule le $+4$ en soustrayant $4$ des deux côtés : $3x + 4 - 4 = 19 - 4$ $3x = 15$
2. On annule le $\times 3$ en divisant par $3$ des deux côtés : $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$ Vérification : $3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19$. Correct.

Exemple de type $a(x + b) = c$ : $2(x - 3) = 10$

1. Méthode 1 : On divise d'abord par $2$ : $\frac{2(x - 3)}{2} = \frac{10}{2}$ $x - 3 = 5$
2. On ajoute $3$ des deux côtés : $x - 3 + 3 = 5 + 3$ $x = 8$ Vérification : $2(8 - 3) = 2(5) = 10$. Correct.

L'objectif est de regrouper tous les termes avec $x$ d'un côté et tous les nombres (termes constants) de l'autre.

Exemple : $5x - 7 = 2x + 8$

1. Regrouper les termes en $x$ : On veut déplacer $2x$ du côté droit vers le côté gauche. Pour cela, on soustrait $2x$ des deux côtés : $5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x$ $3x - 7 = 8$
2. Regrouper les termes constants : On veut déplacer $-7$ du côté gauche vers le côté droit. Pour cela, on ajoute $7$ des deux côtés : $3x - 7 + 7 = 8 + 7$ $3x = 15$
3. Résoudre l'équation simple : $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$ Vérification : $5 \times 5 - 7 = 25 - 7 = 18$. Et $2 \times 5 + 8 = 10 + 8 = 18$. Correct.

Si l'équation contient des parenthèses, la première étape est de les supprimer en utilisant la distributivité.

Exemple : $4(x + 2) = 3x - 1$

1. Développer le membre gauche : $4 \times x + 4 \times 2 = 3x - 1$ $4x + 8 = 3x - 1$
2. Maintenant, c'est une équation avec l'inconnue dans les deux membres. On procède comme avant :
   • Regrouper les $x$ : $4x - 3x + 8 = 3x - 3x - 1 \implies x + 8 = -1$
   • Regrouper les constantes : $x + 8 - 8 = -1 - 8 \implies x = -9$ Vérification : $4(-9 + 2) = 4(-7) = -28$. Et $3(-9) - 1 = -27 - 1 = -28$. Correct.

Pour résoudre les équations avec des fractions, on peut :

1. Mettre toutes les fractions au même dénominateur commun (si elles sont de chaque côté du signe égal).
2. Multiplier tous les termes de l'équation par ce dénominateur commun pour éliminer les fractions.

Exemple : $\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

1. Le dénominateur commun de $3, 2, 6$ est $6$. On réécrit les fractions : $\frac{2x}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$
2. Maintenant, on peut multiplier toute l'équation par $6$ (ou simplement "enlever" les dénominateurs une fois l'égalité établie) : $2x + 3 = 5$
3. Résoudre l'équation simple : $2x = 5 - 3$ $2x = 2$ $x = 1$ Vérification : $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$. Correct.

C'est souvent l'étape la plus délicate. Il faut suivre ces étapes :

1. Identifier l'inconnue : Qu'est-ce que je cherche ? Je lui donne une lettre (souvent $x$).
2. Traduire les informations en expressions mathématiques : Chaque phrase du problème peut souvent être écrite avec des nombres et des $x$.
   • "Le double d'un nombre" $\implies 2x$
   • "Un nombre augmenté de 5" $\implies x + 5$
   • "La moitié d'un nombre" $\implies x/2$ ou $\frac{1}{2}x$
3. Écrire l'équation : Chercher le mot ou la phrase qui indique une égalité ("est égal à", "donne", "représente", "au total").

1. Résoudre l'équation que tu as créée en utilisant les méthodes vues précédemment.
2. Interpréter la solution : La valeur de $x$ a une signification dans le contexte du problème. N'oublie pas de donner une réponse claire, avec les unités si nécessaire.
3. Vérifier la cohérence de la réponse : Est-ce que la solution a du sens par rapport au problème ? (Ex: une longueur ne peut pas être négative).

Problème d'âge : "Mon père a 3 ans de plus que le triple de mon âge. Sachant que mon père a 48 ans, quel est mon âge ?"

1. Inconnue : Soit $x$ mon âge.
2. Expressions :
   • Triple de mon âge : $3x$
   • 3 ans de plus que le triple de mon âge : $3x + 3$
   • L'âge de mon père est 48 ans.
3. Équation : $3x + 3 = 48$
4. Résolution : $3x = 48 - 3$ $3x = 45$ $x = \frac{45}{3}$ $x = 15$
5. Interprétation : Mon âge est de 15 ans.
6. Vérification : Le triple de 15 est 45. 3 ans de plus, c'est $45 + 3 = 48$. C'est bien l'âge de mon père.

Problème de géométrie : "Un rectangle a une longueur qui mesure 5 cm de plus que sa largeur. Son périmètre est de 30 cm. Quelles sont ses dimensions ?"

1. Inconnue : Soit $x$ la largeur du rectangle (en cm).
2. Expressions :
   • Longueur : $x + 5$
   • Périmètre du rectangle : $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$
   • Périmètre : $2( (x + 5) + x)$
3. Équation : $2(x + 5 + x) = 30$
4. Résolution : $2(2x + 5) = 30$ $4x + 10 = 30$ $4x = 30 - 10$ $4x = 20$ $x = \frac{20}{4}$ $x = 5$
5. Interprétation : La largeur est de 5 cm. La longueur est $x + 5 = 5 + 5 = 10$ cm.
6. Vérification : Périmètre = $2 \times (10 + 5) = 2 \times 15 = 30$ cm. C'est correct.