Espace et géométrie

Deux figures sont dites semblables si l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre. Pour les triangles, cela signifie qu'ils ont les mêmes angles et leurs côtés sont proportionnels.

• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux. Leurs côtés sont alors proportionnels.
• Rapports de longueurs : Si deux triangles sont semblables, le rapport des longueurs de deux côtés correspondants est constant.
  • Exemple : Si $\triangle ABC$ est semblable à $\triangle DEF$, alors $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
• Coefficients d'agrandissement/réduction : Ce rapport constant est appelé le coefficient d'agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si 0 < k < 1).
  • Si $k$ est le coefficient, alors les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Le théorème de Thalès s'applique dans des configurations spécifiques impliquant des droites parallèles.

Configuration de Thalès : Imagine deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Il existe deux configurations principales :

1. Configuration "papillon" : Les droites parallèles sont de part et d'autre du point d'intersection des deux droites sécantes.
2. Configuration "nichée" : Les droites parallèles sont du même côté du point d'intersection des deux droites sécantes, formant deux triangles emboîtés.

Énoncé du Théorème de Thalès : Si les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés, et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ Ces rapports permettent de calculer des longueurs inconnues.

• Condition essentielle : Avoir des droites parallèles !

Application : Pour calculer une longueur, il faut identifier les deux triangles formés et s'assurer que les droites sont parallèles.

Exemple : Soit un triangle ABC. M est sur [AB] et N est sur [AC]. Si (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 5 cm, MN = 2 cm. On veut trouver BC. D'après Thalès : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ soit $\frac{3}{5} = \frac{2}{BC}$. Donc $3 \times BC = 5 \times 2 \Rightarrow 3 \times BC = 10 \Rightarrow BC = \frac{10}{3}$ cm.

La réciproque de Thalès est utilisée pour prouver que deux droites sont parallèles.

Énoncé de la Réciproque de Thalès : Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

• Conditions essentielles : Les points doivent être alignés dans le même ordre ET les rapports doivent être égaux.

Démonstration :

1. Vérifier l'alignement des points et l'ordre.
2. Calculer les rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$.
3. Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Exemple : Les points A, M, B sont alignés ainsi que A, N, C. On a AM = 2, AB = 6, AN = 3, AC = 9. Calculons les rapports : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ Puisque $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ et que les points sont alignés dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).

Les exercices peuvent demander de :

• Calculer une longueur manquante.
• Démontrer que des droites sont parallèles.
• Résoudre des problèmes concrets (échelle, réduction, agrandissement).

Conseil : Toujours bien identifier la configuration, les points alignés et les droites parallèles (ou à prouver parallèles). La rédaction d'une démonstration est cruciale.

• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).
• Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
• Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit ou cathètes.

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ Ce théorème permet de calculer une longueur si on en connaît deux autres.

Ces trois fonctions trigonométriques ne s'appliquent qu'aux angles aigus (angles < 90°) dans un triangle rectangle.

Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle :

• Le côté opposé à l'angle $\alpha$ est celui qui ne touche pas l'angle (sauf l'hypoténuse).
• Le côté adjacent à l'angle $\alpha$ est celui qui touche l'angle, mais ce n'est pas l'hypoténuse.

Les définitions :

• Cosinus (cos) : $\cos(\alpha) = \frac{\text{longueur du côté adjacent à } \alpha}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
• Sinus (sin) : $\sin(\alpha) = \frac{\text{longueur du côté opposé à } \alpha}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$
• Tangente (tan) : $\tan(\alpha) = \frac{\text{longueur du côté opposé à } \alpha}{\text{longueur du côté adjacent à } \alpha}$

Mnémonique SOH CAH TOA :

• SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
• CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
• TOA : Tangente = Opposé / Adjacent Cette astuce est très utile pour se souvenir des définitions !

• Calcul de longueurs : Si tu connais un angle aigu et la longueur d'un côté, tu peux trouver la longueur d'un autre côté en utilisant cos, sin ou tan.
  • Exemple : Si tu connais l'hypoténuse et l'angle, tu peux trouver le côté opposé avec le sinus : côté opposé = hypoténuse $\times \sin(\text{angle})$.
• Calcul d'angles : Si tu connais les longueurs de deux côtés, tu peux trouver la mesure d'un angle aigu en utilisant les fonctions réciproques : $\cos^{-1}$ (arccos), $\sin^{-1}$ (arcsin), $\tan^{-1}$ (arctan).
  • Exemple : Si $\cos(\alpha) = 0.5$, alors $\alpha = \cos^{-1}(0.5) = 60°$.
• Utilisation de la calculatrice : Assure-toi que ta calculatrice est en mode "Degré" (DEG) pour les calculs d'angles en degrés.

Angles remarquables :

• $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45°) = 1$
• $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(60°) = \sqrt{3}$

Ces relations sont toujours vraies pour tout angle aigu $x$.

1. Relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
   • Ceci signifie $(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1$.
   • Très utile pour trouver le sinus connaissant le cosinus (ou inversement).
2. Relation tangente : $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (à condition que $\cos(x) \neq 0$)
   • Ceci découle directement des définitions.

Applications : Ces relations permettent de simplifier des expressions ou de calculer une valeur trigonométrique si on en connaît une autre.

• Prismes droits : Solides ayant deux bases parallèles et superposables (polygones) reliées par des faces latérales rectangulaires. Ex : pavé droit, cube.
• Cylindres de révolution : Solides ayant deux bases circulaires parallèles et superposables reliées par une surface latérale courbe.
• Pyramides : Solides ayant une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
• Cônes de révolution : Solides ayant une base circulaire et une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet.
• Sphères : Solides parfaitement ronds, tous les points de sa surface sont à égale distance du centre.

Le volume mesure l'espace occupé par un solide. L'unité de volume standard est le mètre cube ($m^3$).

• Unités de volume : $1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000 L$. N'oublie pas les conversions !
  • $1 dm^3 = 1 L$, $1 cm^3 = 1 mL$.

• L'aire latérale est l'aire de toutes les faces sauf les bases.
• L'aire totale est l'aire latérale plus l'aire des bases.

Développement de solides : C'est la représentation à plat des faces d'un solide. Cela aide à visualiser les aires.

Quand on coupe un solide par un plan, l'intersection s'appelle une section plane.

• Prisme/Cylindre : Une section parallèle à la base est identique à la base. Une section parallèle à une arête latérale est un rectangle.
• Pyramide/Cône : Une section parallèle à la base est une réduction de la base (triangle pour pyramide, cercle pour cône).
• Sphère : Toute section par un plan est un cercle. Le plus grand cercle est le grand cercle, passant par le centre de la sphère.

La nature de la section dépend de l'orientation du plan par rapport au solide.

• Un agrandissement est une transformation qui multiplie toutes les longueurs par un coefficient $k > 1$.
• Une réduction est une transformation qui multiplie toutes les longueurs par un coefficient $k$ où $0 < k < 1$.
• Le coefficient $k$ est le rapport des longueurs correspondantes.
• L'homothétie est une transformation géométrique qui permet de réaliser des agrandissements ou des réductions.

Soit $k$ le coefficient d'agrandissement ou de réduction :

• Les longueurs sont multipliées par $k$. (Ex: arêtes, rayons, hauteurs)
• Les aires (latérales, des bases, totales) sont multipliées par $k^2$.
• Les volumes sont multipliés par $k^3$.

Retiens bien : longueur en k, aire en k², volume en k³.

Exemple : Un cube de côté 2 cm a un volume de $2^3 = 8 cm^3$. Si on l'agrandit avec un coefficient $k=3$, le nouveau cube aura un côté de $2 \times 3 = 6$ cm. Son volume sera $8 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 cm^3$. Ou $(2 \times 3)^3 = 6^3 = 216 cm^3$.

• Maquettes et échelles : Une maquette est une réduction de l'objet réel. L'échelle est le coefficient de réduction.
  • Échelle $1:100$ signifie $k = \frac{1}{100}$. Les longueurs sont divisées par 100, les aires par $100^2 = 10000$, les volumes par $100^3 = 1000000$.
• Problèmes de proportionnalité : Les agrandissements/réductions sont des cas particuliers de proportionnalité.

• Un repère orthogonal est formé de deux droites graduées perpendiculaires :
  • L'axe des abscisses (horizontal, noté $(Ox)$).
  • L'axe des ordonnées (vertical, noté $(Oy)$).
  • Le point d'intersection est l'origine $O(0;0)$.
• Chaque point P est repéré par ses coordonnées $(x_P; y_P)$.
• Milieu d'un segment : Pour un segment $[AB]$ avec $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, les coordonnées du milieu $M$ sont : $M \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$

Pour repérer un point dans l'espace, il faut trois dimensions.

• Un repère orthogonal de l'espace est formé de trois axes gradués perpendiculaires deux à deux, se coupant en l'origine $O$:
  • L'axe des abscisses $(Ox)$.
  • L'axe des ordonnées $(Oy)$.
  • L'axe des cotes ou altitudes $(Oz)$.
• Chaque point P est repéré par ses coordonnées $(x_P; y_P; z_P)$.
• Pavé droit : C'est une figure courante pour visualiser le repérage dans l'espace. Ses sommets peuvent être facilement repérés.

• Distance dans le plan : La distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est donnée par la formule (dérivée du théorème de Pythagore) : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• Distance dans l'espace : De la même manière, pour deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ dans l'espace : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ Cette formule est une extension naturelle du théorème de Pythagore en 3D.

Applications : Ces formules sont essentielles pour résoudre des problèmes de géométrie analytique, calculer des longueurs d'arêtes ou de diagonales dans des solides, etc.