Fonctions linéaires et affines : représentations graphiques

Une fonction est un processus mathématique qui associe à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent) un unique nombre de sortie (appelé image). Imagine une machine à calculer : tu lui donnes un nombre, elle effectue une opération et te donne un résultat.

• Variable d'entrée (antécédent) : C'est le nombre que tu donnes à la fonction. On le note souvent $x$.
• Variable de sortie (image) : C'est le résultat que la fonction te donne. On le note souvent $f(x)$ (lire "f de x").

La notation $f(x)$ signifie "l'image de $x$ par la fonction $f$". Par exemple, si $f(x) = 2x + 1$, alors l'image de 3 est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$. Ici, 3 est l'antécédent et 7 est l'image.

On peut représenter une fonction de plusieurs façons :

1. Tableau de valeurs : Il liste des antécédents et leurs images correspondantes.

2. Expression algébrique : C'est la formule mathématique de la fonction. Par exemple, $f(x) = 2x + 1$. C'est la façon la plus précise de définir une fonction.

3. Représentation graphique : C'est un dessin dans un repère où chaque point a pour coordonnées $(x, f(x))$. L'axe horizontal est celui des antécédents ($x$) et l'axe vertical est celui des images ($y$ ou $f(x)$).

• Antécédent : Un nombre de départ. Pour une image donnée, il peut y avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
• Image : Le résultat de la fonction pour un antécédent donné. Pour un antécédent, il n'y a toujours qu'une seule image.
• Ensemble de définition : C'est l'ensemble de tous les nombres pour lesquels la fonction est définie (pour lesquels on peut calculer une image). En 3ème, ce sera souvent l'ensemble de tous les nombres réels.
• Calcul d'images et d'antécédents :
  • Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace $x$ par ce nombre dans l'expression algébrique.
  • Pour calculer l'antécédent d'un nombre, on résout l'équation $f(x) = \text{nombre}$.

Exemple : Soit $f(x) = 2x + 1$.

• Image de 5 : $f(5) = 2 \times 5 + 1 = 11$.
• Antécédent de 7 : $2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. L'antécédent de 7 est 3.

Une fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de proportionnalité. Sa forme générale est $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre réel non nul appelé le coefficient directeur (ou pente).

• Forme $f(x) = ax$ : Chaque antécédent $x$ est multiplié par une constante $a$.
• Proportionnalité : Si $x$ est multiplié par un nombre $k$, alors $f(x)$ est aussi multiplié par $k$. $f(kx) = a(kx) = k(ax) = kf(x)$.
• Coefficient directeur ($a$) : Il indique le sens et la "raideur" de la droite.
  • Si $a > 0$, la droite "monte" (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la fonction est $f(x) = 0$, c'est la droite horizontale confondue avec l'axe des abscisses.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère (le point $(0,0)$).

• Tracé à partir de deux points : Puisque la droite passe par l'origine $(0,0)$, tu as déjà un premier point. Il suffit de calculer l'image d'un autre nombre (par exemple $f(1)$ pour avoir le point $(1, a)$) pour obtenir un deuxième point et tracer la droite.
• Interprétation du coefficient directeur : Si $a = 2$, cela signifie que pour chaque unité que $x$ augmente, $f(x)$ augmente de 2 unités. Si $a = -0.5$, pour chaque unité que $x$ augmente, $f(x)$ diminue de 0.5 unités.

Pour trouver la formule $f(x) = ax$ d'une fonction linéaire :

1. À partir d'un point : Si tu sais que la droite passe par un point $A(x_A; y_A)$ (différent de l'origine), tu as $y_A = a \times x_A$. Donc $a = \frac{y_A}{x_A}$.
   • Exemple : $f(2) = 6$. Alors $6 = a \times 2 \Rightarrow a = \frac{6}{2} = 3$. La fonction est $f(x) = 3x$.
2. À partir d'un tableau de valeurs : Choisis n'importe quelle colonne $(x; f(x))$ (sauf $(0;0)$) et calcule $a = \frac{f(x)}{x}$.
3. À partir de la représentation graphique :
   • Repère un point "facile" $(x; y)$ sur la droite (autre que l'origine).
   • Calcule $a = \frac{y}{x}$.
   • Ou utilise la "pente" : pour un déplacement horizontal de 1 unité, observe le déplacement vertical correspondant. C'est $a$.

Une fonction affine est une généralisation des fonctions linéaires. Sa forme générale est $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

• Forme $f(x) = ax + b$ :
  • $a$ est le coefficient directeur (ou pente), comme pour les fonctions linéaires.
  • $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(x)$ quand $x=0$, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées. $f(0) = a \times 0 + b = b$.
• Non-proportionnalité (sauf cas particulier) : Contrairement aux fonctions linéaires, les fonctions affines ne représentent pas une proportionnalité directe, à moins que $b=0$.
• Coefficient directeur ($a$) et ordonnée à l'origine ($b$) :
  • $a$ détermine la direction et l'inclinaison de la droite.
  • $b$ détermine où la droite coupe l'axe des ordonnées.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite.

• Droite ne passant pas nécessairement par l'origine : Elle passe par l'origine seulement si $b = 0$ (dans ce cas, c'est une fonction linéaire).
• Tracé à partir de deux points : Choisis deux valeurs de $x$ différentes, calcule leurs images $f(x)$ et place les deux points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$. Trace la droite qui les relie.
  • Un point facile est $(0, b)$ (l'ordonnée à l'origine).
  • Un autre point peut être $(1, a+b)$.
• Interprétation de '$a$' et '$b$' :
  • $a$ : Pour chaque unité que $x$ augmente, $f(x)$ augmente de $a$ (si $a>0$) ou diminue de $|a|$ (si $a<0$).
  • $b$ : C'est le point de départ de la droite sur l'axe vertical (quand $x=0$).

1. Fonctions linéaires ($b=0$) : $f(x) = ax$. Leur droite passe par l'origine.
2. Fonctions constantes ($a=0$) : $f(x) = b$. Leur droite est une droite horizontale. L'image est toujours la même, quel que soit l'antécédent.
   • Exemple : $f(x) = 3$. La droite est horizontale et passe par $y=3$.
3. Droites horizontales et obliques :
   • Les fonctions constantes ($a=0$) sont des droites horizontales.
   • Les fonctions affines avec $a \neq 0$ sont des droites obliques (montantes ou descendantes).

Pour tracer la droite d'une fonction $f(x) = ax + b$ :

1. Utilisation de l'ordonnée à l'origine ($b$) : Place le premier point sur l'axe des ordonnées : $(0, b)$. C'est le point où la droite coupe l'axe vertical.
2. Utilisation du coefficient directeur ($a$) : À partir du point $(0, b)$, déplace-toi de 1 unité vers la droite (sur l'axe des $x$). Puis, déplace-toi de $a$ unités verticalement (vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$). Tu obtiens un deuxième point. Relie les deux points pour tracer la droite.
   • Exemple $f(x) = 2x - 1$:
     • Place $(0, -1)$.
     • De là, va 1 unité à droite, puis 2 unités vers le haut. Tu arrives au point $(1, 1)$.
     • Trace la droite passant par $(0, -1)$ et $(1, 1)$.
3. Calcul de points pour le tracé : C'est la méthode la plus courante. Choisis deux valeurs de $x$ (par exemple $x=0$ et $x=1$ ou $x=2$), calcule leurs images, et place les deux points correspondants.
   • Exemple $f(x) = 2x - 1$:
     • $f(0) = 2(0) - 1 = -1 \Rightarrow$ point $(0, -1)$.
     • $f(2) = 2(2) - 1 = 3 \Rightarrow$ point $(2, 3)$.
     • Trace la droite passant par $(0, -1)$ et $(2, 3)$.

La lecture graphique n'est pas toujours aussi précise que le calcul, mais elle est très utile pour visualiser.

• Lecture d'image (axe des ordonnées) : Pour trouver l'image d'un antécédent $x_0$ :
  1. Place-toi sur l'axe des abscisses (horizontal) à la valeur $x_0$.
  2. Monte ou descends verticalement jusqu'à rencontrer la droite.
  3. Lis la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (vertical). C'est $f(x_0)$.
• Lecture d'antécédent (axe des abscisses) : Pour trouver l'antécédent d'une image $y_0$ :
  1. Place-toi sur l'axe des ordonnées (vertical) à la valeur $y_0$.
  2. Va horizontalement jusqu'à rencontrer la droite.
  3. Lis la valeur correspondante sur l'axe des abscisses (horizontal). C'est l'antécédent $x$ tel que $f(x) = y_0$.
• Précision de la lecture graphique : La lecture graphique est sujette à l'imprécision du tracé et de l'œil. Pour des valeurs exactes, il faut toujours privilégier le calcul algébrique.

Si tu as la droite représentative d'une fonction affine, tu peux retrouver son expression $f(x) = ax + b$.

1. Lecture de l'ordonnée à l'origine ($b$) : C'est la valeur $y$ où la droite coupe l'axe des ordonnées (quand $x=0$).
2. Calcul du coefficient directeur ($a$) à partir de deux points :
   • Choisis deux points "faciles" à lire sur la droite, disons $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$.
   • La formule du coefficient directeur est $a = \frac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des abscisses}} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
   • Attention : l'ordre des points doit être le même au numérateur et au dénominateur.
   • Alternativement, utilise la "pente" : pars d'un point, déplace-toi de $1$ unité vers la droite, puis compte de combien d'unités tu dois monter ou descendre pour retrouver la droite. C'est $a$.
3. Écriture de l'expression $f(x) = ax + b$ : Une fois $a$ et $b$ trouvés, remplace-les dans la formule générale.

Exemple : La droite passe par $(0, 2)$ et $(1, 4)$.

• $b = 2$ (ordonnée à l'origine).
• $a = \frac{4 - 2}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$.
• L'expression est $f(x) = 2x + 2$.

Les fonctions affines sont très utilisées pour modéliser des situations réelles où une quantité dépend linéairement d'une autre, avec un point de départ.

• Choix de la variable : Identifie ce que représente $x$ (le plus souvent, ce qui varie et influence le reste).
• Écriture de la fonction associée : Traduis la situation en une formule $f(x) = ax + b$.
  • $a$ est le taux de variation (ex: coût par kilomètre, salaire par heure).
  • $b$ est la valeur initiale ou le coût fixe (ex: forfait de base, coût d'abonnement).
• Interprétation des paramètres '$a$' et '$b$' : Explique ce que chaque nombre signifie dans le contexte du problème.

Exemple : Un taxi facture 3€ de prise en charge puis 2€ par kilomètre.

• $x$ : nombre de kilomètres parcourus.
• $f(x)$ : coût total de la course.
• $f(x) = 2x + 3$.
• $a=2$ représente le coût par kilomètre. $b=3$ représente le coût fixe de la prise en charge.

Une fois la situation modélisée par une fonction affine, on peut résoudre divers problèmes :

• Calcul d'images et d'antécédents dans un contexte :
  • "Combien coûte une course de 10 km ?" $\rightarrow$ calcule $f(10)$.
  • "Avec 20€, combien de kilomètres peut-on parcourir ?" $\rightarrow$ résous $f(x) = 20$.
• Comparaison de fonctions : Comparer deux tarifs, deux salaires, etc. Cela revient à comparer deux expressions de fonctions affines.
• Utilisation du graphique pour la résolution : Le graphique permet de visualiser rapidement les solutions, les points d'égalité ou les intervalles où une option est meilleure qu'une autre.

L'intersection de deux droites représente le point où les deux fonctions affines ont la même image pour le même antécédent.

• Résolution graphique d'équations : Pour trouver la solution de $f(x) = g(x)$, il suffit de trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentant $f$ et $g$. L'abscisse de ce point est la solution de l'équation.
• Résolution algébrique d'équations : C'est la méthode la plus précise. Pour trouver le point d'intersection de $y = ax + b$ et $y = a'x + b'$, on pose $ax + b = a'x + b'$. On résout cette équation pour trouver la valeur de $x$, puis on remplace $x$ dans l'une des fonctions pour trouver la valeur de $y$.
• Point d'intersection comme solution : Les coordonnées $(x, y)$ du point d'intersection sont la solution commune aux deux fonctions.
  • $x$ est l'antécédent pour lequel les deux fonctions ont la même image.
  • $y$ est l'image commune à cet antécédent.

Exemple : $f(x) = 2x+3$ et $g(x) = 3x+1$. Pour trouver leur point d'intersection : $2x + 3 = 3x + 1$ $3 - 1 = 3x - 2x$ $2 = x$ Puis on calcule $y$ : $f(2) = 2(2) + 3 = 7$. Ou $g(2) = 3(2) + 1 = 7$. Le point d'intersection est $(2, 7)$.