La distributivité

La distributivité est une propriété fondamentale en mathématiques qui relie la multiplication à l'addition ou à la soustraction. Elle permet de "distribuer" une multiplication sur les termes à l'intérieur d'une parenthèse. C'est un outil très puissant pour simplifier des calculs ou pour transformer des expressions algébriques.

En clair, multiplier un nombre par une somme (ou une différence) revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme (ou de la différence) séparément, puis à additionner (ou soustraire) les résultats.

Cette propriété est bilatérale : elle peut être utilisée pour développer une expression (passer d'un produit à une somme) ou pour la factoriser (passer d'une somme à un produit).

Exemple simple : Imagine que tu as deux paquets de bonbons, et dans chaque paquet, il y a 3 bonbons rouges et 2 bonbons bleus.

• Tu peux compter les bonbons dans un paquet (3+2=5), puis multiplier par le nombre de paquets : $2 \times (3+2) = 2 \times 5 = 10$ bonbons.
• Ou tu peux compter les bonbons rouges dans tous les paquets ($2 \times 3 = 6$) et les bonbons bleus dans tous les paquets ($2 \times 2 = 4$), puis additionner : $6 + 4 = 10$ bonbons. Le résultat est le même ! $2 \times (3+2) = 2 \times 3 + 2 \times 2$. C'est la distributivité.

Le développement consiste à transformer un produit en une somme (ou une différence). La formule générale est : $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ Ou, en version simplifiée sans le signe de multiplication : $k(a + b) = ka + kb$ Et de même pour la soustraction : $k(a - b) = ka - kb$

Application avec des nombres entiers :

• $5 \times (3 + 4) = 5 \times 3 + 5 \times 4 = 15 + 20 = 35$ (Vérification : $5 \times (3+4) = 5 \times 7 = 35$)
• $7 \times (10 - 2) = 7 \times 10 - 7 \times 2 = 70 - 14 = 56$ (Vérification : $7 \times (10-2) = 7 \times 8 = 56$)

Application avec des nombres décimaux :

• $3,5 \times (2 + 0,1) = 3,5 \times 2 + 3,5 \times 0,1 = 7 + 0,35 = 7,35$
• $0,5 \times (8 - 4) = 0,5 \times 8 - 0,5 \times 4 = 4 - 2 = 2$

La factorisation est l'opération inverse du développement. Elle consiste à transformer une somme (ou une différence) en un produit. Pour cela, il faut identifier un facteur commun à tous les termes de l'expression.

La formule générale est : $ka + kb = k(a + b)$ Et pour la soustraction : $ka - kb = k(a - b)$

Exemple de factorisation d'expressions numériques :

• $12 + 18$
  • On cherche un facteur commun à 12 et 18. Par exemple, 6.
  • $12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$
  • Donc, $12 + 18 = 6 \times 2 + 6 \times 3 = 6 \times (2 + 3) = 6 \times 5 = 30$ (Vérification : $12+18=30$)
• $45 - 27$
  • Le facteur commun peut être 9.
  • $45 = 9 \times 5$ et $27 = 9 \times 3$
  • Donc, $45 - 27 = 9 \times 5 - 9 \times 3 = 9 \times (5 - 3) = 9 \times 2 = 18$ (Vérification : $45-27=18$)

Quand le facteur $k$ est un nombre et que la parenthèse contient des variables.

Formule : $k(a+b) = ka + kb$

Exemples :

• $3(x + 2)$
  • On distribue 3 à $x$ et à 2.
  • $3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$
• $5(y - 4)$
  • $5 \times y - 5 \times 4 = 5y - 20$

Gestion des signes : C'est un point crucial !

• $-2(x + 3)$
  • $-2 \times x + (-2) \times 3 = -2x - 6$
• $-4(2a - 5)$
  • $-4 \times 2a - (-4) \times 5 = -8a - (-20) = -8a + 20$
  • Retiens la règle des signes : moins par moins donne plus !

Réduction de l'expression : Après avoir développé, il faut souvent réduire l'expression en regroupant les termes de même nature (les $x$ avec les $x$, les nombres avec les nombres, etc.).

• $2(x + 3) + 5x$
  • Développement : $2x + 6 + 5x$
  • Réduction : $2x + 5x + 6 = 7x + 6$

Ici, le facteur $k$ est une variable (une lettre) ou une expression contenant des variables.

Exemples :

• $x(x + 5)$
  • $x \times x + x \times 5 = x^2 + 5x$
  • Rappel : $x \times x = x^2$
• $a(3 - a)$
  • $a \times 3 - a \times a = 3a - a^2$
• $2y(y + 7)$
  • $2y \times y + 2y \times 7 = 2y^2 + 14y$

Produits de variables et simplification : Quand tu multiplies des variables, tu additionnes les exposants.

• $x(x^2 + 3)$
  • $x \times x^2 + x \times 3 = x^{1+2} + 3x = x^3 + 3x$

Ces expressions peuvent avoir plusieurs termes dans la parenthèse ou combiner des facteurs numériques et littéraux.

Plusieurs termes dans la parenthèse : La propriété distributive s'applique à autant de termes qu'il y en a dans la parenthèse.

• $4(2x + y - 3)$
  • $4 \times 2x + 4 \times y - 4 \times 3 = 8x + 4y - 12$

Combinaison de facteurs numériques et littéraux :

• $x(2x^2 - 5x + 1)$
  • $x \times 2x^2 - x \times 5x + x \times 1 = 2x^3 - 5x^2 + x$
• $-3a(a^2 - 2a + 4)$
  • $-3a \times a^2 - (-3a) \times 2a + (-3a) \times 4$
  • $-3a^3 + 6a^2 - 12a$

Erreurs courantes à éviter :

• Oublier de distribuer à tous les termes dans la parenthèse.
  • Ex: $3(x+2)$ n'est pas $3x+2$, mais $3x+6$.
• Erreurs de signes, surtout avec les nombres négatifs ou les soustractions.
  • Ex: $-2(x-3)$ n'est pas $-2x-6$, mais $-2x+6$.
• Confondre addition et multiplication de variables.
  • Ex: $x+x = 2x$, mais $x \times x = x^2$.

Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une combinaison des deux.

• Facteur commun numérique :
  • Dans $6x + 9$, le facteur commun est 3, car $6x = 3 \times 2x$ et $9 = 3 \times 3$.
  • $6x + 9 = 3(2x + 3)$
• Facteur commun littéral :
  • Dans $x^2 + 5x$, le facteur commun est $x$, car $x^2 = x \times x$ et $5x = x \times 5$.
  • $x^2 + 5x = x(x + 5)$
• Facteur commun composé (numérique et littéral) :
  • Dans $10a^2 - 15a$, le facteur commun est $5a$, car $10a^2 = 5a \times 2a$ et $15a = 5a \times 3$.
  • $10a^2 - 15a = 5a(2a - 3)$
  • Cherche toujours le PLUS GRAND facteur commun possible.

Exemples :

• $4x + 8$
  • Le facteur commun est 4.
  • $4x + 8 = 4 \times x + 4 \times 2 = 4(x + 2)$
• $x^2 + 3x$
  • Le facteur commun est $x$.
  • $x^2 + 3x = x \times x + x \times 3 = x(x + 3)$
• $6ab - 9b$
  • Le facteur commun est $3b$.
  • $6ab - 9b = 3b \times 2a - 3b \times 3 = 3b(2a - 3)$

Vérification par le développement : C'est une excellente habitude ! Après avoir factorisé, tu peux mentalement ou par écrit redévelopper l'expression pour t'assurer que tu retrouves l'expression de départ.

• Pour $4(x+2)$, si on développe on obtient $4x+8$. C'est correct.

La gestion des signes est essentielle en factorisation.

Gestion des signes négatifs :

• $-2x + 6$
  • On peut factoriser par 2 : $2(-x + 3)$
  • On peut aussi factoriser par -2 (souvent utile) : $-2(x - 3)$
    • Vérification : $-2 \times x - (-2) \times 3 = -2x - (-6) = -2x + 6$. C'est correct.
• $-5y - 10$
  • On peut factoriser par -5 : $-5(y + 2)$

Factorisation de -1 : Parfois, le facteur commun est implicite, comme -1.

• $-x - y$
  • C'est comme $(-1) \times x + (-1) \times y$. Le facteur commun est -1.
  • $-x - y = -(x + y)$
• $3 - x$
  • On peut l'écrire $-(x - 3)$. Utile pour simplifier des fractions par exemple.

La formule générale est : $(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$ Ou, sans les signes de multiplication : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse. Il y aura toujours 4 produits intermédiaires avant la réduction.

Visualisation géométrique (aire de rectangle) : Imagine un grand rectangle dont la longueur est $(c+d)$ et la largeur est $(a+b)$. L'aire totale est $(a+b)(c+d)$. Tu peux diviser ce grand rectangle en quatre plus petits rectangles :

1. Un rectangle d'aire $a \times c$
2. Un rectangle d'aire $a \times d$
3. Un rectangle d'aire $b \times c$
4. Un rectangle d'aire $b \times d$ L'aire totale est la somme de ces quatre aires : $ac + ad + bc + bd$.

Application pas à pas : Pour $(x+2)(y+3)$ :

1. Prends le premier terme de la première parenthèse ($x$) et multiplie-le par chaque terme de la deuxième parenthèse : $x \times y + x \times 3 = xy + 3x$
2. Prends le deuxième terme de la première parenthèse ($+2$) et multiplie-le par chaque terme de la deuxième parenthèse : $2 \times y + 2 \times 3 = 2y + 6$
3. Additionne tous les résultats : $xy + 3x + 2y + 6$

Exemples numériques :

• $(5 + 2)(3 + 4)$
  • $5 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 3 + 2 \times 4$
  • $15 + 20 + 6 + 8 = 49$ (Vérification : $(5+2)(3+4) = 7 \times 7 = 49$)

Exemples littéraux :

• $(x + 1)(x + 2)$

  • $x \times x + x \times 2 + 1 \times x + 1 \times 2$
  • $x^2 + 2x + x + 2$
  • Réduction des termes semblables : $x^2 + 3x + 2$

• $(2x - 3)(x + 5)$

  • $2x \times x + 2x \times 5 - 3 \times x - 3 \times 5$
  • $2x^2 + 10x - 3x - 15$
  • Réduction : $2x^2 + 7x - 15$

Expressions avec des signes négatifs : Soyez très vigilant avec les signes !

• $(y - 4)(y - 1)$
  • $y \times y + y \times (-1) + (-4) \times y + (-4) \times (-1)$
  • $y^2 - y - 4y + 4$
  • Réduction : $y^2 - 5y + 4$

Carrés de sommes ou de différences (introduction aux identités remarquables) : Ces cas sont très fréquents et mènent aux identités remarquables que tu étudieras en détail.

• $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$
  • $x \times x + x \times 3 + 3 \times x + 3 \times 3$
  • $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$
• $(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$
  • $a \times a + a \times (-b) + (-b) \times a + (-b) \times (-b)$
  • $a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Erreurs fréquentes :

• Oublier des termes : C'est l'erreur la plus courante. Assure-toi toujours d'avoir 4 produits avant de réduire.
• Erreurs de signes : Surtout avec les termes négatifs.
• Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2+b^2$ : C'est une erreur classique ! $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2$.

La distributivité permet de rendre certains calculs mentaux plus faciles ou plus rapides en décomposant les nombres.

Simplifier des calculs complexes :

• Exemple : $101 \times 7$
  • Tu peux écrire $101 = 100 + 1$.
  • Donc, $101 \times 7 = (100 + 1) \times 7 = 100 \times 7 + 1 \times 7 = 700 + 7 = 707$.
• Exemple : $99 \times 8$
  • Tu peux écrire $99 = 100 - 1$.
  • Donc, $99 \times 8 = (100 - 1) \times 8 = 100 \times 8 - 1 \times 8 = 800 - 8 = 792$.

Utilisation de la factorisation pour le calcul rapide :

• Exemple : $15 \times 13 + 15 \times 7$
  • Le facteur commun est 15.
  • $15 \times (13 + 7) = 15 \times 20 = 300$. C'est plus rapide que de faire $15 \times 13 = 195$ puis $15 \times 7 = 105$, puis $195 + 105 = 300$.

La distributivité est souvent nécessaire pour transformer les équations afin de les résoudre.

Équations nécessitant un développement :

• Résoudre $3(x + 5) = 21$
  1. Développer le côté gauche : $3x + 15 = 21$
  2. Soustraire 15 des deux côtés : $3x = 21 - 15$
  3. $3x = 6$
  4. Diviser par 3 : $x = 2$

Équations nécessitant une factorisation : La factorisation est cruciale pour résoudre des équations où un produit est égal à zéro (produit nul). Si $A \times B = 0$, alors $A=0$ ou $B=0$.

• Résoudre $x^2 - 5x = 0$
  1. Factoriser le côté gauche (facteur commun $x$) : $x(x - 5) = 0$
  2. Appliquer la règle du produit nul :
     • Soit $x = 0$
     • Soit $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ Les solutions sont $x=0$ et $x=5$.

Mise en équation de problèmes concrets :

• "Un rectangle a une longueur de $(x+3)$ cm et une largeur de 4 cm. Son aire est de 28 cm². Quelle est la valeur de $x$ ?"
  1. L'aire d'un rectangle est Longueur $\times$ Largeur.
  2. Donc, $4(x+3) = 28$
  3. Développer : $4x + 12 = 28$
  4. $4x = 28 - 12$
  5. $4x = 16$
  6. $x = 4$

La distributivité est très utile pour exprimer les aires ou les périmètres de figures géométriques dont les dimensions sont données par des expressions littérales.

Calcul d'aires et de périmètres :

• Exemple d'aire : Un rectangle a une longueur de $(2x+1)$ et une largeur de $(x+3)$. Exprime son aire.

  • Aire = Longueur $\times$ Largeur
  • Aire = $(2x+1)(x+3)$
  • Développer par double distributivité : $2x \times x + 2x \times 3 + 1 \times x + 1 \times 3$
  • Aire = $2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$

• Exemple de périmètre : Un rectangle a une longueur $L = (3y-2)$ et une largeur $l = (y+5)$. Exprime son périmètre.

  • Périmètre = $2 \times (L + l)$
  • Périmètre = $2 \times ((3y-2) + (y+5))$
  • Périmètre = $2 \times (3y - 2 + y + 5)$
  • Périmètre = $2 \times (4y + 3)$
  • Développer : $8y + 6$

Expressions littérales pour des dimensions variables : Cela permet de généraliser les calculs et de trouver des formules pour des familles de figures.

Optimisation ou comparaison de figures : En 3ème, tu pourrais être amené à comparer les aires de deux figures dont les dimensions dépendent de $x$, et pour cela, tu devras développer et réduire leurs expressions d'aire pour les comparer ou trouver $x$ pour qu'elles soient égales.