La representation dans l'espace

En 3ème, nous passons de la géométrie plane (2D) à la géométrie dans l'espace (3D). Les objets fondamentaux sont :

• Un point : Il n'a pas de dimension, il est repéré par ses coordonnées.
• Une droite : C'est un ensemble infini de points alignés, elle est illimitée dans deux directions opposées.
• Un plan : C'est une surface plane et illimitée. Imagine une feuille de papier infinie.

Positions relatives de deux droites :

• Sécantes : Elles se coupent en un seul point. Elles sont forcément dans le même plan.
• Parallèles : Elles ne se coupent jamais et restent toujours à la même distance. Elles sont forcément dans le même plan.
• Non coplanaires : Elles ne sont pas parallèles et ne se coupent pas. Elles n'appartiennent pas au même plan. Imagine une arête de devant d'un cube et une arête de derrière qui ne sont pas parallèles.

Positions relatives d'une droite et d'un plan :

• Sécante : La droite traverse le plan en un seul point.
• Parallèle : La droite ne coupe jamais le plan.
• Incluse : La droite est entièrement contenue dans le plan.

Positions relatives de deux plans :

• Sécants : Ils se coupent selon une droite. Imagine deux murs qui se rejoignent.
• Parallèles : Ils ne se coupent jamais. Imagine le sol et le plafond.
• Confondus : Ils sont exactement le même plan.

La perspective cavalière est une technique de dessin pour représenter des objets en 3D sur une surface 2D (ta feuille).

• Les faces de face et de derrière sont dessinées en vraie grandeur.
• Les arêtes fuyantes (qui donnent la profondeur) sont dessinées en parallèle et ont une longueur réduite (souvent de moitié ou aux trois quarts) et un angle spécifique (souvent 30° ou 45°).
• Les arêtes cachées sont représentées en pointillé.

Propriétés conservées :

• Le parallélisme.
• L'alignement des points.
• Le milieu d'un segment.
• Les angles droits des faces de face/arrière.

Propriétés non conservées :

• Les longueurs (sauf celles des faces de face/arrière).
• Les angles (sauf ceux des faces de face/arrière).
• La perpendicularité (sauf cas particuliers).

Un solide est une figure en trois dimensions.

• Les faces sont les surfaces planes qui délimitent le solide.
• Les arêtes sont les segments où deux faces se rencontrent.
• Les sommets sont les points où plusieurs arêtes se rencontrent.

Polyèdres : Solides dont toutes les faces sont des polygones (ex: cube, pyramide, prisme). Non-polyèdres : Solides avec au moins une surface courbe (ex: cylindre, cône, sphère).

Quelques solides importants :

• Prisme droit : Deux bases identiques et parallèles (polygones), faces latérales des rectangles.
• Cylindre de révolution : Deux bases circulaires identiques et parallèles, surface latérale courbe.
• Pyramide : Une base (polygone) et toutes les autres faces (triangles) se rejoignent en un sommet.
• Cône de révolution : Une base circulaire et une surface latérale courbe qui se rejoint en un sommet.
• Sphère : Une surface courbe où tous les points sont à égale distance du centre.

Le volume d'un solide mesure l'espace qu'il occupe. L'unité de volume est le mètre cube ($m^3$). La formule générale pour le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre est : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

• Pavé droit (parallélépipède rectangle) : C'est un prisme dont la base est un rectangle. Si $L$ est la longueur, $l$ la largeur et $h$ la hauteur : ==$V = L \times l \times h$==
• Cylindre de révolution : Sa base est un cercle. Si $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur : $V = \pi \times r^2 \times h$

Unités de volume et conversions : $1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000 L$ $1 dm^3 = 1 L = 1000 cm^3 = 1000 mL$ $1 cm^3 = 1 mL$

La formule générale pour le volume d'une pyramide ou d'un cône est : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

• Pyramide : Si $A_{base}$ est l'aire de sa base et $h$ sa hauteur : $V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$ (Ex: Si la base est un carré de côté $c$, $A_{base} = c^2$)
• Cône de révolution : Si $r$ est le rayon de sa base et $h$ sa hauteur : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

• Une sphère est une surface (comme la peau d'une orange).
• Une boule est le solide délimité par une sphère (comme l'orange entière).

Si $R$ est le rayon de la sphère/boule :

• Aire de la sphère : C'est la surface de la "peau". ==$A = 4 \times \pi \times R^2$==
• Volume de la boule : C'est l'espace occupé par le solide. $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$

Pour un hémisphère (une demi-boule) :

• Le volume est la moitié du volume de la boule : $V_{hémisphère} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times R^3$.
• L'aire totale inclut la demi-sphère et le disque de base : $A_{hémisphère} = \frac{1}{2} (4 \pi R^2) + \pi R^2 = 2 \pi R^2 + \pi R^2 = 3 \pi R^2$.

• Plan parallèle à une face : La section est un rectangle (ou un carré si la face est un carré) identique à cette face.
• Plan parallèle à une arête : La section est un rectangle. Ses dimensions dépendent de la distance du plan à l'arête.
• Plan "oblique" : La section peut être un triangle, un quadrilatère, etc., selon l'inclinaison du plan.

• Plan parallèle à la base : La section est un cercle de même rayon que la base.
• Plan passant par l'axe de révolution : La section est un rectangle. Sa longueur est le diamètre de la base et sa largeur est la hauteur du cylindre.
• Plan "oblique" : La section est une ellipse (non au programme de 3ème).

• Plan parallèle à la base :
  • Pour une pyramide : La section est un polygone (de même nature que la base) qui est une réduction de la base.
  • Pour un cône : La section est un cercle qui est une réduction de la base. Le petit solide obtenu en haut est une petite pyramide ou un petit cône, semblable au solide de départ.

• La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.
• Si le plan passe par le centre de la sphère, le cercle est appelé grand cercle. Son rayon est égal au rayon de la sphère.
• Si le plan ne passe pas par le centre, le cercle est un petit cercle. Son rayon est inférieur au rayon de la sphère. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer le rayon du petit cercle si on connaît le rayon de la sphère et la distance du plan au centre.

Quand on agrandit ou réduit une figure (2D) ou un solide (3D), on multiplie toutes ses dimensions par un nombre $k$.

• Si $k > 1$, c'est un agrandissement.
• Si $0 < k < 1$, c'est une réduction.

Effet sur les longueurs : Si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, alors les nouvelles longueurs $L'$ sont $L' = k \times L$.

Effet sur les aires : Si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, alors les nouvelles aires $A'$ sont ==$A' = k^2 \times A$==. (Ex: si $k=2$, l'aire est multipliée par $2^2=4$)

Effet sur les volumes : Si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, alors les nouveaux volumes $V'$ sont ==$V' = k^3 \times V$==. (Ex: si $k=2$, le volume est multiplié par $2^3=8$)

Ces propriétés sont très utiles pour calculer les dimensions, aires ou volumes de solides agrandis ou réduits sans tout refaire.

• Exemple : Un cube de côté 3 cm a un volume de $3^3 = 27 cm^3$. Si on l'agrandit avec un rapport $k=2$, le nouveau côté sera $3 \times 2 = 6 cm$. Le nouveau volume sera $27 \times 2^3 = 27 \times 8 = 216 cm^3$. Ou directement $V' = (6 cm)^3 = 216 cm^3$.

Lorsque l'on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à sa base, on obtient un petit solide (une petite pyramide ou un petit cône) qui est une réduction du solide initial. Le rapport de réduction $k$ est le rapport des hauteurs (ou des arêtes correspondantes) : $k = \frac{\text{hauteur de la petite pyramide}}{\text{hauteur de la grande pyramide}}$ On peut alors calculer les aires des bases réduites ($A_{base}' = k^2 \times A_{base}$) et les volumes des solides réduits ($V' = k^3 \times V$). Le solide restant après avoir enlevé la petite pyramide/cône s'appelle un tronc de pyramide/cône. Son volume est la différence entre le volume du grand solide et celui du petit solide.

Pour repérer un point dans l'espace, il nous faut un repère orthogonal en 3D. Imagine le coin d'une pièce.

• On choisit un point d'origine $O$.
• On définit trois axes perpendiculaires entre eux, passant par $O$ :
  • L'axe des abscisses (souvent noté $x$).
  • L'axe des ordonnées (souvent noté $y$).
  • L'axe des cotes (souvent noté $z$). Un point $M$ dans l'espace est alors repéré par trois coordonnées : $M(x; y; z)$.

Pour un pavé droit, on peut placer l'origine $O$ sur un de ses sommets et aligner les arêtes partant de ce sommet avec les axes $x$, $y$ et $z$.

• Distance entre deux points sur un axe : Si $A(x_A)$ et $B(x_B)$ sont sur l'axe des $x$, la distance $AB = |x_B - x_A|$.
• Distance entre deux points dans un plan (rappel) : Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ sont dans un plan, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Distance entre deux points dans l'espace : Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ sont dans l'espace, la formule est : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ Cette formule n'est pas exigible en 3ème, mais il est bon de comprendre qu'on peut calculer des longueurs en 3D de la même manière qu'en 2D, en ajoutant la dimension $z$.

Les coordonnées du milieu $I$ d'un segment $[AB]$ sont la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$. Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$, alors le milieu $I$ a pour coordonnées : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$ Cette formule est très utile pour vérifier si un point est le centre d'un segment ou pour construire des figures symétriques.