Les differentes ecritures dun nombre

En mathématiques, les nombres peuvent être classés en différents ensembles en fonction de leurs propriétés.

• Nombres entiers naturels ($\mathbb{N}$) : Ce sont les nombres qu'on utilise pour compter. Ils sont positifs ou nuls.
  • Exemples : $0, 1, 2, 3, 100, \dots$
• Nombres entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) : Cet ensemble inclut les nombres entiers naturels, ainsi que leurs opposés (les nombres négatifs).
  • Exemples : $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$
• Nombres décimaux ($\mathbb{D}$) : Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Leur écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule.
  • Exemples : $0,5$ (car $0,5 = \frac{5}{10}$), $3,14$ (car $3,14 = \frac{314}{100}$), $-7$, $12,0$.
  • On a les inclusions : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

Un même nombre peut souvent s'écrire de différentes manières.

• Passage de fraction à décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.
  • Exemple : $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$.
  • Attention : Toutes les fractions ne donnent pas une écriture décimale finie (ex: $\frac{1}{3} = 0,333\dots$). Ces nombres ne sont pas décimaux.
• Passage de décimal à fraction : Pour convertir un nombre décimal en fraction, on écrit le nombre sans virgule au numérateur et une puissance de 10 au dénominateur, avec autant de zéros que de chiffres après la virgule.
  • Exemple : $1,25 = \frac{125}{100}$.
• Fractions irréductibles : Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de diviseur commun autre que 1). Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie par le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur.
  • Exemple : $\frac{125}{100} = \frac{125 \div 25}{100 \div 25} = \frac{5}{4}$. La fraction $\frac{5}{4}$ est irréductible.

Comparer et ordonner des nombres est une compétence fondamentale.

• Comparaison de décimaux : Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d'abord leurs parties entières. Si elles sont égales, on compare les chiffres après la virgule, position par position, de gauche à droite.
  • Exemple : $3,14 < 3,145$ (car $4 < 45$ si on ajoute un 0 à 3,14). Ou plus précisément, $3,140$ vs $3,145$. Le chiffre des millièmes est $0$ pour le premier et $5$ pour le second. Donc $3,14 < 3,145$.
• Comparaison de fractions :
  • Si elles ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Ex : $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.
  • Si elles ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Ex : $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$.
  • Si elles n'ont ni le même numérateur ni le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur (dénominateur commun). Ex : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. Dénominateur commun est 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ et $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Donc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
  • On peut aussi les convertir en écriture décimale si c'est simple.
• Placement sur une droite graduée : Une droite graduée permet de visualiser l'ordre des nombres. Plus un nombre est à droite, plus il est grand.
  • $A(-2)$, $B(0.5)$, $C(\frac{1}{4})$. On a $C(0.25)$. L'ordre est $A < C < B$.

Une fraction est une manière d'exprimer une division.

• Numérateur et dénominateur : Dans la fraction $\frac{a}{b}$, $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur. Le dénominateur doit être non nul ($b \neq 0$). Le numérateur indique le nombre de parts que l'on prend, le dénominateur indique le nombre total de parts égales.
• Fractions égales : Deux fractions sont égales si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.
  • Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.
• Simplification de fractions : C'est l'opération inverse, on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun pour obtenir une fraction plus simple, idéalement irréductible.
  • Exemple : $\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$.

• Addition et soustraction : Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, on les réduit au même dénominateur commun.
  • $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
  • $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
  • Exemple : $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
• Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
  • $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
  • Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$. Il est souvent judicieux de simplifier avant de multiplier si possible.
• Division : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$.
  • $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$
  • Exemple : $\frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.

Les pourcentages sont une autre façon d'exprimer des proportions, basées sur 100.

• Conversion fraction-pourcentage : Pour convertir une fraction en pourcentage, on la multiplie par 100.
  • Exemple : $\frac{1}{4} = 0,25 = 0,25 \times 100 \% = 25 \%$.
  • Exemple : $\frac{3}{5} = 0,6 = 60 \%$.
• Calcul de pourcentages : Pour calculer un pourcentage d'une quantité, on multiplie la quantité par la fraction ou le décimal correspondant au pourcentage.
  • Exemple : Calculer 20% de 50. $20 \% \text{ de } 50 = \frac{20}{100} \times 50 = 0,20 \times 50 = 10$.
• Applications concrètes : Les pourcentages sont utilisés pour les réductions, les augmentations, les statistiques, etc.
  • Une réduction de 10% sur un article de 80€ : $80 - (0,10 \times 80) = 80 - 8 = 72€$.

Les puissances sont une notation abrégée pour les multiplications répétées.

• Puissances de 10 :
  • $10^n = 1 \underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$ (pour $n$ entier positif). Ex : $10^3 = 1000$.
  • $10^{-n} = \underbrace{0,0\dots0}_{n-1 \text{ zéros}}1$ (pour $n$ entier positif). Ex : $10^{-2} = 0,01$.
  • $10^0 = 1$.
• Puissances entières positives : Pour tout nombre $a$ et tout entier positif $n$, $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fois}}$.
  • Exemple : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
  • $a^1 = a$.
• Puissances entières négatives : Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
  • Exemple : $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
  • $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).

Ces règles simplifient considérablement les calculs.

• Produit de puissances de même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
  • Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.
• Quotient de puissances de même base : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (avec $a \neq 0$).
  • Exemple : $\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625$.
• Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
  • Exemple : $( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
• Produit de puissances de même exposant : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.
  • Exemple : $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
• Quotient de puissances de même exposant : $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$).
  • Exemple : $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

La notation scientifique est très utile pour écrire des nombres très grands ou très petits de manière compacte.

• Écriture d'un nombre en notation scientifique : Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ et $n$ est un entier relatif.
  • Exemple : $123000 = 1,23 \times 10^5$.
  • Exemple : $0,000045 = 4,5 \times 10^{-5}$.
• Ordre de grandeur : L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Souvent, c'est $10^n$ de sa notation scientifique, parfois $10^{n+1}$ si le nombre $a$ est proche de 10.
  • Exemple : L'ordre de grandeur de $1,23 \times 10^5$ est $10^5$.
  • L'ordre de grandeur de $7,8 \times 10^3$ est $10^4$ (car 7,8 est plus proche de 10 que de 1).
• Opérations avec la notation scientifique :
  • Pour multiplier/diviser, on multiplie/divise les parties décimales et on additionne/soustraire les exposants de 10.
  • Exemple : $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = (2 \times 3) \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7$.
  • Pour additionner/soustraire, il faut que les nombres aient la même puissance de 10.
  • Exemple : $(2 \times 10^3) + (3 \times 10^4) = (2 \times 10^3) + (30 \times 10^3) = (2+30) \times 10^3 = 32 \times 10^3 = 3,2 \times 10^4$.

La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré.

• Définition d'une racine carrée : La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est $a$. $\sqrt{a} = x \iff x^2 = a$ et $x \ge 0$.
  • Exemple : $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$.
  • $\sqrt{0} = 0$. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif dans les nombres réels.
• Valeur exacte et valeur approchée :
  • Certaines racines sont des nombres entiers ou décimaux (ex: $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{0.25}=0.5$). Ce sont des valeurs exactes.
  • D'autres, comme $\sqrt{2}$ ou $\sqrt{3}$, ne peuvent pas s'écrire sous forme décimale finie ou de fraction. Ce sont des nombres irrationnels, et on utilise alors des valeurs approchées (ex: $\sqrt{2} \approx 1,414$).
• Simplification de racines carrées : On peut simplifier une racine carrée en cherchant des facteurs carrés parfaits. $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
  • Exemple : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
  • Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

• Addition et soustraction : On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même radicande (le nombre sous la racine). C'est comme regrouper des termes similaires.
  • $a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}$.
  • Exemple : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
  • Exemple : $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ (il faut d'abord simplifier).
• Multiplication et division :
  • $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$.
  • Exemple : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.
  • $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
  • Exemple : $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
• Rendre un dénominateur rationnel : Il est souvent demandé d'écrire une fraction sans racine carrée au dénominateur. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine carrée présente au dénominateur.
  • Exemple : $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
  • Si le dénominateur est de la forme $a\sqrt{b} \pm c\sqrt{d}$, on utilise l'expression conjuguée.

• Définition d'un nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ (où $a$ et $b$ sont des entiers et $b \neq 0$). Leur écriture décimale est infinie et non périodique.
• Exemples :
  • $\pi \approx 3,14159265\dots$
  • $\sqrt{2} \approx 1,41421356\dots$
  • $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, etc. (toute racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait).
• L'ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$) : L'ensemble des nombres réels est l'union de l'ensemble des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$, qui inclut $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$ et les fractions non décimales) et de l'ensemble des nombres irrationnels. En d'autres termes, $\mathbb{R}$ regroupe tous les nombres que l'on peut placer sur une droite graduée sans "trou".
  • On a les inclusions : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).

• Simple distributivité : $a(b+c) = ab + ac$.
  • Exemple : $3(x+2) = 3x + 6$.
• Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
  • Exemple : $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
• Identités remarquables : Ce sont des cas particuliers de double distributivité à connaître par cœur.
  • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    • Exemple : $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
  • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
    • Exemple : $(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$.
  • $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
    • Exemple : $(x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'inverse du développement.

• Facteur commun : On cherche un terme qui est présent dans tous les membres de la somme.
  • Exemple : $3x + 6 = 3(x+2)$. Le facteur commun est 3.
  • Exemple : $x^2 + 5x = x(x+5)$. Le facteur commun est x.
  • Exemple : $(x+1)(x+2) + 5(x+1) = (x+1)((x+2)+5) = (x+1)(x+7)$. Le facteur commun est $(x+1)$.
• Utilisation des identités remarquables : On reconnaît une forme développée d'identité remarquable pour la factoriser.
  • $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
    • Exemple : $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$.
  • $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
    • Exemple : $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
  • $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
    • Exemple : $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$.
• Factorisation complète : Parfois, il faut combiner le facteur commun et les identités remarquables.
  • Exemple : $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x-2)(x+2)$.

Développement et factorisation ne sont pas que des outils algébriques, ils peuvent simplifier les calculs.

• Calcul mental simplifié :
  • Exemple : $101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
  • Exemple : $99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.
• Vérification de résultats : En développant une expression factorisée, on peut vérifier si la factorisation est correcte.
• Résolution d'équations : La factorisation est cruciale pour résoudre des équations polynomiales du second degré ou plus, car elle permet d'appliquer la propriété du produit nul.
  • Exemple : Résoudre $(x-2)(x+3) = 0$. Cela implique $x-2=0$ ou $x+3=0$, donc $x=2$ ou $x=-3$.