Les fonctions

Une fonction est une sorte de "machine" mathématique qui, à un nombre donné, associe un unique autre nombre. C'est une relation qui lie deux quantités.

• Le nombre de départ est appelé antécédent (ou variable d'entrée).
• Le nombre d'arrivée, calculé par la fonction, est appelé image (ou variable de sortie).

On utilise souvent la notation $f(x)$ pour désigner l'image du nombre $x$ par la fonction $f$. Par exemple, si $f(x) = x^2$, l'image de 3 est $f(3) = 3^2 = 9$. Dans ce cas, 3 est l'antécédent et 9 est l'image. Chaque antécédent a une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.

Les fonctions sont partout autour de nous :

• Le prix en fonction de la quantité : Si une pomme coûte 0,50 €, le prix total dépend du nombre de pommes achetées. Si $x$ est le nombre de pommes, le prix $P(x) = 0,50x$.
• La distance en fonction du temps : Une voiture roule à 80 km/h. La distance $D$ parcourue dépend du temps $t$. $D(t) = 80t$.
• L'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté : Si $c$ est la longueur du côté, l'aire $A(c) = c^2$.

Une fonction peut être représentée de plusieurs manières :

1. Par une expression algébrique (une formule) : C'est la façon la plus courante d'écrire une fonction. Exemple : $f(x) = 2x + 3$ ou $g(x) = x^2 - 5$.

2. Par un tableau de valeurs : Il liste quelques antécédents et leurs images correspondantes.

   $x$ (antécédent)	$f(x)$ (image)
   0	3
   1	5
   2	7

   (Pour $f(x) = 2x+3$)

3. Par une représentation graphique : C'est une courbe ou une droite dans un repère, où chaque point a pour coordonnées $(x, f(x))$. L'axe des abscisses ($x$) représente les antécédents, et l'axe des ordonnées ($y$) représente les images.

Pour trouver l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, on remplace $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction.

• Avec l'expression algébrique : Soit $f(x) = 3x - 1$. Pour trouver l'image de 2 : $f(2) = 3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$. L'image de 2 est 5.

• Avec un tableau de valeurs : Il suffit de lire la valeur correspondante dans la ligne des images. Si le tableau est :

  $x$	-1	0	1	2
  $f(x)$	4	2	0	-2

  L'image de 1 est 0.

• Avec une représentation graphique :

  1. Placez-vous sur l'axe des abscisses ($x$) à la valeur de l'antécédent.
  2. Montez ou descendez verticalement jusqu'à la courbe.
  3. Lisez la valeur sur l'axe des ordonnées ($y$) au niveau de ce point. La lecture graphique est souvent approximative.

Pour trouver l'antécédent d'un nombre $y$ par une fonction $f$, on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x) = y$.

• Avec l'expression algébrique : Il faut résoudre une équation. Soit $f(x) = 2x + 7$. On cherche l'antécédent de 15. On pose : $f(x) = 15$ $2x + 7 = 15$ $2x = 15 - 7$ $2x = 8$ $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$. L'antécédent de 15 par $f$ est 4.
• Avec un tableau de valeurs : On cherche le nombre dans la ligne des images et on lit l'antécédent correspondant dans la ligne des $x$.
• Avec une représentation graphique :
  1. Placez-vous sur l'axe des ordonnées ($y$) à la valeur de l'image.
  2. Allez horizontalement jusqu'à la courbe.
  3. Lisez la valeur sur l'axe des abscisses ($x$) au niveau de ce point. Il peut y avoir zéro, un ou plusieurs antécédents pour une même image.

• Fonction linéaire $f(x) = ax$ : Pour calculer l'image, on multiplie l'antécédent par $a$. Pour l'antécédent, on divise l'image par $a$ (si $a \ne 0$).
• Fonction affine $f(x) = ax + b$ : Pour l'image, on remplace $x$. Pour l'antécédent, on résout $ax + b = \text{image}$.

Pour construire la courbe représentative d'une fonction $f$ :

1. Faire un tableau de valeurs : Choisissez plusieurs valeurs de $x$ (antécédents) et calculez leurs images $f(x)$. Exemple pour $f(x) = x^2$:

   | $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $f(x)$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |

2. Placer les points : Chaque couple $(x, f(x))$ correspond à un point dans un repère. L'axe horizontal est l'axe des $x$ (antécédents), et l'axe vertical est l'axe des $y$ ou $f(x)$ (images).

3. Relier les points : Tracez une courbe lisse qui passe par tous les points que vous avez placés. Attention à ne pas relier les points avec des segments si la fonction n'est pas linéaire par morceaux.

La courbe permet de :

• Lire l'image d'un nombre : Pour un $x$ donné sur l'axe des abscisses, on "monte" ou "descend" jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée correspondante.
• Lire l'antécédent d'un nombre : Pour un $y$ donné sur l'axe des ordonnées, on "va à droite ou à gauche" jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse correspondante.
• Identifier les variations :
  • Si la courbe "monte" de gauche à droite, la fonction est croissante.
  • Si la courbe "descend" de gauche à droite, la fonction est décroissante.
  • Si la courbe est "plate", la fonction est constante.

• Ordonnée à l'origine : C'est le point où la courbe coupe l'axe des ordonnées. Ses coordonnées sont $(0, f(0))$.
• Points d'intersection avec l'axe des abscisses : Ce sont les points où $f(x) = 0$. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 0 (aussi appelés racines de la fonction).
• Maximum et minimum (intuitif) : Ce sont les points les plus hauts ou les plus bas de la courbe. Ils indiquent les valeurs les plus grandes ou les plus petites que la fonction peut atteindre.

Une fonction linéaire est une fonction qui modélise une situation de proportionnalité. Elle s'écrit sous la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixe (le coefficient).

• L'image est toujours proportionnelle à l'antécédent.
• Sa représentation graphique est toujours une droite qui passe par l'origine du repère $(0,0)$.

Exemple : $f(x) = 3x$. Si $x=1$, $f(1)=3$. Si $x=2$, $f(2)=6$.

Le nombre $a$ est appelé le coefficient de proportionnalité ou la pente de la droite.

• Il se calcule par $a = \frac{f(x)}{x}$ (pour $x \ne 0$).
• Il indique la "raideur" et le sens de la droite :
  • Si $a > 0$, la droite monte (la fonction est croissante).
  • Si $a < 0$, la droite descend (la fonction est décroissante).
  • Si $a = 0$, la droite est horizontale (fonction constante $f(x)=0$).

Exemple : Si $f(x) = -2x$, alors $a = -2$. La droite descend.

• Pourcentages : Calculer 20% d'un prix $P$ revient à $f(P) = 0,20P$.
• Échelles : Une échelle de 1/500 signifie que 1 cm sur la carte représente 500 cm en réalité. La distance réelle $R(c) = 500c$.
• Conversions d'unités : Convertir des litres en millilitres ($f(L) = 1000L$).

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixes.

• Si $b=0$, la fonction affine est aussi une fonction linéaire. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
• Sa représentation graphique est toujours une droite. Cependant, cette droite ne passe pas nécessairement par l'origine (sauf si $b=0$).

Exemple : $f(x) = 2x + 5$. Pour $x=0$, $f(0)=5$. Pour $x=1$, $f(1)=7$.

Dans $f(x) = ax + b$:

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il indique la direction et la "pente" de la droite, comme pour les fonctions linéaires. $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ pour deux points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(0)$, c'est-à-dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Les coordonnées de ce point sont $(0, b)$.

Pour construire la droite représentative d'une fonction affine :

1. Placez l'ordonnée à l'origine $(0, b)$.
2. Utilisez le coefficient directeur $a$. Si $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, cela signifie que pour chaque augmentation de $\Delta x$ en abscisse, l'ordonnée augmente de $\Delta y$. Par exemple, si $a=2$, pour 1 unité vers la droite, on monte de 2 unités.

• À partir de deux points : Si vous connaissez deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ de la droite :
  1. Calculez $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
  2. Utilisez un des points et la valeur de $a$ dans l'équation $y = ax + b$ pour trouver $b$. Exemple : Si $f(1)=5$ et $f(3)=11$. $a = \frac{11-5}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$. Donc $f(x) = 3x + b$. On utilise $f(1)=5$: $5 = 3(1) + b \Rightarrow b = 2$. La fonction est $f(x) = 3x + 2$.
• À partir de la pente et d'un point : Si vous connaissez $a$ et un point $(x_1, y_1)$, remplacez dans $y_1 = ax_1 + b$ pour trouver $b$.
• À partir de la représentation graphique :
  1. Lisez l'ordonnée à l'origine $b$ (là où la droite coupe l'axe des $y$).
  2. Choisissez deux points "faciles" sur la droite et calculez la pente $a = \frac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des abscisses}}$.

• Coût d'un service : Un forfait téléphonique coûte 10 € par mois (abonnement) plus 0,10 € par minute (consommation). Le coût $C(t) = 0,10t + 10$.
• Température en fonction de l'altitude : La température diminue d'environ 0,6 °C tous les 100 mètres.
• Comparaison de tarifs : Deux entreprises proposent des tarifs différents (par exemple, un coût fixe plus un coût variable). Les fonctions affines permettent de modéliser et de comparer ces offres.