Les puissances et la racine carrée

En mathématiques, une puissance est une manière abrégée d'écrire une multiplication répétée du même nombre.

• Base et exposant : Une puissance s'écrit sous la forme $a^n$.
  • $a$ est la base (le nombre que l'on multiplie).
  • $n$ est l'exposant (le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même).
• Signification de $a^n$ : $a^n = a \times a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois) Exemple : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
• Cas particuliers :
  • $a^1 = a$ (tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même).
  • $a^0 = 1$ (tout nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1). Exemple : $5^1 = 5$, $12^0 = 1$ Attention : $0^0$ n'est pas défini en 3ème.

Pour calculer une puissance, il faut multiplier la base par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant.

• Calculs avec des nombres entiers : Exemple 1 : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ Exemple 2 : $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$ Attention : La présence des parenthèses est importante. $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
• Calculs avec des nombres décimaux : Exemple : $(0,5)^2 = 0,5 \times 0,5 = 0,25$
• Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices ont une touche spécifique pour les puissances, souvent notée $x^y$, $y^x$ ou $\hat{}$. Pour calculer $2^5$, on tape $2 \hat{} 5$ ou $2 x^y 5$.

Les puissances de 10 sont très importantes en sciences pour écrire des nombres très grands ou très petits.

• Définition des puissances de 10 : Ce sont des puissances dont la base est 10.
• Écriture décimale des puissances de 10 :
  • Exposants positifs : $10^n$ est 1 suivi de $n$ zéros. Exemple : $10^3 = 1000$ (1 suivi de 3 zéros) $10^6 = 1\,000\,000$
  • Exposants négatifs : $10^{-n}$ est 0, suivi de $n-1$ zéros, puis un 1. C'est l'inverse de $10^n$. $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ Exemple : $10^{-1} = 0,1$ $10^{-2} = 0,01$ $10^{-3} = 0,001$ (0, suivi de 2 zéros, puis un 1) Retenez : l'exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule, le 1 inclus.

• Règle : Pour multiplier des puissances ayant la même base, on garde la base et on additionne les exposants. $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• Exemples d'application : Exemple 1 : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ Exemple 2 : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3 = 1000$
• Démonstration intuitive : $a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a) = a \times a \times a \times a \times a = a^5$ On a bien $3+2=5$.

• Règle : Pour diviser des puissances ayant la même base, on garde la base et on soustraie les exposants. $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (avec $a \neq 0$)
• Exemples d'application : Exemple 1 : $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$ Exemple 2 : $\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3} = 0,001$
• Cas particulier : Si $n=m$, alors $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1$. Cela confirme bien que $a^0=1$.

• Règle : Pour élever une puissance à une autre puissance, on garde la base et on multiplie les exposants. $(a^n)^m = a^{n \times m}$
• Exemples d'application : Exemple 1 : $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729$ Exemple 2 : $(10^{-2})^4 = 10^{-2 \times 4} = 10^{-8}$
• Distinction avec $a^{(n^m)}$ : $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$ $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$ (car $3^2=9$) Attention à ne pas confondre $(a^n)^m$ et $a^{(n^m)}$ !

Ces règles permettent de "distribuer" l'exposant sur les facteurs d'un produit ou d'un quotient.

• Règle de la puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ Exemple : $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296$. On peut aussi calculer $(2 \times 3)^4 = 6^4 = 1296$.
• Règle de la puissance d'un quotient : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$) Exemple : $\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$
• Exemples combinés : Exemple : $(2x^3)^2 = 2^2 \times (x^3)^2 = 4x^{3 \times 2} = 4x^6$

• Forme : Un nombre en écriture scientifique s'écrit toujours sous la forme $a \times 10^n$.
• Condition sur 'a' : Le nombre $a$ doit être un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$. Autrement dit, $a$ doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule. Exemple : $3,45 \times 10^7$ est en écriture scientifique. $34,5 \times 10^6$ n'en est pas une car $34,5 \ge 10$.
• Utilité : Elle est utilisée en sciences (astronomie, physique, chimie) pour exprimer des distances astronomiques, des tailles de particules, etc.

Pour écrire un nombre en écriture scientifique, on déplace la virgule pour obtenir un nombre $a$ entre 1 et 10, puis on détermine l'exposant $n$ de la puissance de 10.

• Déplacement de la virgule :
  • Si le nombre est grand (> 10), on déplace la virgule vers la gauche. L'exposant $n$ sera positif.
  • Si le nombre est petit (< 1), on déplace la virgule vers la droite. L'exposant $n$ sera négatif.
• Détermination de l'exposant 'n' : $n$ est le nombre de rangs dont la virgule a été déplacée.
• Exemples :
  • $54300 = 5,43 \times 10^4$ (virgule déplacée de 4 rangs vers la gauche, $n=4$)
  • $0,000027 = 2,7 \times 10^{-5}$ (virgule déplacée de 5 rangs vers la droite, $n=-5$)
  • $7,8 = 7,8 \times 10^0$ (déjà entre 1 et 10, $n=0$)

• Multiplication et division : On multiplie (ou divise) les nombres $a$ entre eux et les puissances de 10 entre elles en utilisant les règles des puissances. Exemple : $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = (2 \times 3) \times (10^3 \times 10^4) = 6 \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7$ Exemple : $\frac{8 \times 10^5}{2 \times 10^2} = \frac{8}{2} \times \frac{10^5}{10^2} = 4 \times 10^{5-2} = 4 \times 10^3$
• Addition et soustraction : Il faut que les nombres aient la même puissance de 10. Si ce n'est pas le cas, on convertit un des nombres pour avoir la même puissance de 10. Exemple : $3 \times 10^4 + 2 \times 10^3 = 3 \times 10^4 + 0,2 \times 10^4 = (3+0,2) \times 10^4 = 3,2 \times 10^4$
• Utilisation de la calculatrice scientifique : La touche "EXP" ou "EE" ou "$\times 10^x$" permet de saisir directement les puissances de 10. Pour $3,2 \times 10^4$, on tape $3.2 \text{ EXP } 4$.

• Nombre dont le carré est 'a' : La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif $b$ tel que $b^2 = a$.
• Notation $\sqrt{a}$ : On note la racine carrée de $a$ par $\sqrt{a}$. Exemple : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$.
• Existence pour les nombres positifs : La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif (dans l'ensemble des nombres réels). $\sqrt{-4}$ n'existe pas.

• Liste des premiers carrés parfaits : Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre nombre entier. $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$, $10^2=100$, $11^2=121$, $12^2=144$, $13^2=169$, $14^2=196$, $15^2=225$.
• Calcul de racines carrées exactes : La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier. Exemple : $\sqrt{81} = 9$, $\sqrt{144} = 12$.
• Nombres non carrés parfaits : La racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction et a une infinité de décimales non périodiques). Exemple : $\sqrt{2} \approx 1,414...$, $\sqrt{3} \approx 1,732...$

Lorsque la racine carrée n'est pas exacte, on peut en trouver une valeur approchée.

• Encadrement de racines carrées : Pour encadrer $\sqrt{a}$, on cherche les deux carrés parfaits les plus proches de $a$. Exemple : Encadrer $\sqrt{50}$. On sait que $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$. Donc $49 < 50 < 64$. En prenant la racine carrée de chaque terme (qui est une fonction croissante), on obtient : $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$ $7 < \sqrt{50} < 8$.
• Utilisation de la calculatrice : La touche $\sqrt{}$ permet de calculer une valeur approchée. Exemple : $\sqrt{50} \approx 7,0710678...$
• Arrondis et troncatures :
  • Troncature à un certain rang : on coupe le nombre après ce rang. Exemple : Troncature de $\sqrt{50}$ au centième est $7,07$.
  • Arrondi à un certain rang : on regarde le chiffre suivant le rang. Si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, on tronque. Si c'est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au dernier chiffre tronqué. Exemple : Arrondi de $\sqrt{50}$ au centième est $7,07$ (car le troisième chiffre après la virgule est 1). Arrondi de $\sqrt{2} \approx 1,41421...$ au millième est $1,414$. Arrondi de $\sqrt{3} \approx 1,73205...$ au millième est $1,732$.

• Règle du produit : La racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées. $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (avec $a \ge 0$ et $b \ge 0$) Exemple : $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$. Et $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$. Exemple : $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
• Règle du quotient : La racine carrée d'un quotient est le quotient des racines carrées. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $a \ge 0$ et $b > 0$) Exemple : $\sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$. Et $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2$. Exemple : $\sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$. Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! Par exemple, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est le plus petit entier possible.

• Décomposition en facteurs carrés : On cherche à écrire le nombre sous la racine comme un produit de deux facteurs, dont l'un est le plus grand carré parfait possible. Exemple : Simplifier $\sqrt{12}$. $12 = 4 \times 3$. Donc $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Exemple : Simplifier $\sqrt{180}$. $180 = 36 \times 5$. Donc $\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.
• Mettre sous la forme $a\sqrt{b}$ : C'est l'objectif de la simplification.
• Rendre un dénominateur entier : Pour se débarrasser d'une racine carrée au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine carrée. Exemple : Rendre le dénominateur entier pour $\frac{3}{\sqrt{2}}$. $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Addition et soustraction (termes semblables) : On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même nombre sous le radical (ce sont des "termes semblables"). Exemple : $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$. Exemple : $4\sqrt{5} - \sqrt{5} = (4-1)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Si les racines ne sont pas semblables, on essaie d'abord de les simplifier. Exemple : $\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{4 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
• Multiplication et division : On utilise les propriétés $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Exemple : $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} = (2 \times 5) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{2}) = 10\sqrt{6}$. Exemple : $\frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{3} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2 \times \sqrt{\frac{10}{5}} = 2\sqrt{2}$.
• Développement d'expressions : On applique la distributivité, comme avec les expressions littérales. Exemple : $\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 3 + \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 2$.