Les statistiques

Les statistiques nous aident à comprendre le monde qui nous entoure en collectant, organisant, analysant et interprétant des données. Une série statistique est un ensemble de données recueillies sur un groupe d'individus.

Pour bien comprendre une série statistique, il faut définir :

• La population : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude. Ex: Tous les élèves de 3ème d'un collège.
• Un individu : C'est un élément de la population. Ex: Un élève de 3ème.
• Un caractère : C'est la propriété étudiée sur chaque individu.
  • Qualitatif : Ne peut pas être mesuré par un nombre. Ex: Couleur des yeux (bleu, vert, marron).
  • Quantitatif : Peut être mesuré par un nombre. Ex: Taille (1,65 m), nombre de frères et sœurs (2).
• La valeur du caractère : C'est le résultat observé pour le caractère. Ex: Si le caractère est "taille", une valeur peut être "1,70 m".

Lorsque nous collectons des informations, nous obtenons des données brutes. Pour les rendre exploitables, nous les organisons.

• Données brutes : Les informations telles qu'elles sont collectées. Ex: 16, 17, 15, 18, 15 (notes d'élèves).
• Tableaux de données : Permettent d'organiser les données en colonnes ou lignes pour une meilleure lecture. Ils sont essentiels pour calculer les indicateurs.

Exemple de tableau pour des notes sur 20 :

Ces deux notions sont fondamentales en statistiques.

• L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique. L'effectif total est le nombre total d'individus dans la population étudiée.
  • Calcul d'effectifs : On compte simplement le nombre d'apparitions de chaque valeur.
• La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total.
  • Calcul de fréquences : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
  • Elles peuvent être exprimées sous forme décimale (entre 0 et 1) ou en pourcentage (en multipliant par 100).
  • La somme des effectifs doit toujours être égale à l'effectif total.
  • La somme des fréquences doit toujours être égale à 1 (ou 100% si exprimée en pourcentage).

• Diagramme en bâtons : Utilisé pour les caractères quantitatifs discrets (valeurs isolées, comme le nombre d'enfants). Chaque bâton représente une valeur du caractère et sa hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence). Les bâtons sont séparés.
• Histogramme : Utilisé pour les caractères quantitatifs continus (données regroupées en classes, comme la taille ou l'âge). Chaque rectangle (pas des bâtons !) représente une classe de valeurs, et son aire est proportionnelle à l'effectif de la classe. Les rectangles sont collés les uns aux autres.

Construction :

1. Tracer deux axes : l'axe horizontal pour les valeurs du caractère, l'axe vertical pour les effectifs/fréquences.
2. Graduer les axes.
3. Dessiner les bâtons ou les rectangles.

Ces diagrammes sont excellents pour montrer la répartition d'un tout en ses différentes parties.

• Diagramme circulaire (camembert) : Représente la totalité de la population (360°).
• Diagramme semi-circulaire : Représente la totalité de la population sur un demi-cercle (180°).

Calcul des angles : Pour chaque catégorie, l'angle est proportionnel à son effectif (ou sa fréquence). $\text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ \quad (\text{ou } 180^\circ)$

Le choix dépend du type de données et du message que l'on veut faire passer.

• Diagramme en bâtons / histogramme : Pour montrer la distribution des valeurs, identifier les valeurs les plus fréquentes.
• Diagramme circulaire / semi-circulaire : Pour montrer la proportion de chaque catégorie par rapport à l'ensemble.
• Éviter les erreurs courantes : ne pas mélanger les types de diagrammes, bien légender les axes, choisir des échelles appropriées.

La moyenne arithmétique est l'indicateur le plus connu. Elle représente la valeur "centrale" si toutes les valeurs étaient "également réparties".

• Moyenne simple (pour une liste de valeurs sans effectifs) : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme de toutes les valeurs}}{\text{Nombre total de valeurs}}$ Ex: Pour les notes 10, 12, 14 : $(10+12+14)/3 = 12$.
• Moyenne pondérée (avec effectifs ou fréquences) : $\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{Valeur} \times \text{Effectif})}{\text{Effectif total}}$ Ou avec les fréquences : $\sum (\text{Valeur} \times \text{Fréquence})$. Ex: Pour le tableau de notes ci-dessus : $\frac{(10 \times 2) + (12 \times 5) + (14 \times 8) + (16 \times 3) + (18 \times 2)}{20} = \frac{20 + 60 + 112 + 48 + 36}{20} = \frac{276}{20} = 13,8$
• Interprétation : La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites).

La médiane ($M$) est la valeur qui partage la série statistique en deux groupes de même effectif, une fois que les données sont rangées dans l'ordre croissant. Il y a autant de valeurs inférieures ou égales à la médiane que de valeurs supérieures ou égales.

Méthode de calcul :

1. Ranger les données dans l'ordre croissant.
2. Si l'effectif total ($N$) est impair : La médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$. Ex: Série (10, 12, 14, 15, 18) ; $N=5$. Rang de la médiane : $(5+1)/2 = 3$. La médiane est la 3ème valeur, soit $M=14$.
3. Si l'effectif total ($N$) est pair : La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, celles de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$. Ex: Série (10, 12, 14, 15, 18, 20) ; $N=6$. Rangs : $6/2 = 3$ et $6/2+1 = 4$. Les valeurs sont 14 et 15. La médiane est $(14+15)/2 = 14,5$.

• Interprétation : La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Elle indique le "milieu" de la série.

Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif. C'est la valeur la plus fréquente.

• Identification : Il suffit de chercher la valeur avec l'effectif le plus élevé. Ex: Dans le tableau de notes, la note 14 a l'effectif le plus grand (8), donc le mode est 14.
• Une série peut avoir plusieurs modes (série multimodale) si plusieurs valeurs ont le même effectif maximal.
• Utilité : Pratique pour les caractères qualitatifs où moyenne et médiane n'ont pas de sens.

L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

• Calcul : $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$ Ex: Série (10, 12, 14, 15, 18, 20). Étendue = $20 - 10 = 10$.
• Signification : Elle donne une idée rapide de l'étalement total des données.
• Limites : Elle est très sensible aux valeurs extrêmes et ne donne aucune information sur la répartition des valeurs intermédiaires.

Les quartiles sont des valeurs qui partagent la série statistique rangée en quatre parties égales.

• Premier quartile ($Q_1$) : C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% (un quart) des données sont inférieures ou égales à $Q_1$.
  • Méthode de calcul de $Q_1$ : On calcule $N/4$. Si c'est un entier, $Q_1$ est la moyenne de la $N/4$-ième et la $(N/4+1)$-ième valeur. Sinon, on prend la valeur de rang supérieur à $N/4$. Plus simplement en 3ème, c'est la médiane de la première moitié de la série.
• Troisième quartile ($Q_3$) : C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% (trois quarts) des données sont inférieures ou égales à $Q_3$.
  • Méthode de calcul de $Q_3$ : On calcule $3N/4$. Si c'est un entier, $Q_3$ est la moyenne de la $3N/4$-ième et la $(3N/4+1)$-ième valeur. Sinon, on prend la valeur de rang supérieur à $3N/4$. Plus simplement en 3ème, c'est la médiane de la deuxième moitié de la série.

Exemple : Série (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11) ; $N=11$. $Q_1$ : rang $(11+1)/4 = 3$. $Q_1 = 3$. $Q_3$ : rang $3 \times (11+1)/4 = 9$. $Q_3 = 9$. La médiane $M=6$.

L'écart interquartile ($EI$) est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile.

• Calcul : $EI = Q_3 - Q_1$ Ex: Dans l'exemple précédent, $EI = 9 - 3 = 6$.
• Interprétation : Il représente l'étendue des 50% des valeurs centrales de la série. C'est un indicateur de dispersion plus robuste aux valeurs extrêmes que l'étendue, car il ne prend pas en compte les 25% des valeurs les plus petites et les 25% des valeurs les plus grandes.

Pour analyser une situation, il faut :

1. Choisir les indicateurs pertinents : La moyenne est bonne si la série est symétrique, la médiane si elle contient des valeurs extrêmes. Les quartiles et l'écart interquartile sont utiles pour la dispersion.
2. Analyser les résultats : Que nous disent la moyenne, la médiane, l'étendue, les quartiles sur la série ?
3. Rédiger des conclusions claires et argumentées, en utilisant le vocabulaire statistique.

Exemple : Comparer les résultats de deux classes à un devoir. On peut comparer leurs moyennes, médianes, et écarts interquartiles pour voir quelle classe est globalement meilleure et laquelle est plus homogène.

Les tableurs (comme Excel, LibreOffice Calc ou Google Sheets) sont des outils puissants pour les statistiques.

• Saisie de données : Facile et rapide.
• Calculs automatiques :
  • =MOYENNE(plage_de_cellules) pour la moyenne.
  • =MEDIANE(plage_de_cellules) pour la médiane.
  • =MODE.SIMPLE(plage_de_cellules) pour le mode.
  • =MIN(plage_de_cellules) et =MAX(plage_de_cellules) pour l'étendue.
  • =QUARTILE(plage_de_cellules;1) pour $Q_1$ et =QUARTILE(plage_de_cellules;3) pour $Q_3$.
• Création de graphiques : Les tableurs peuvent générer rapidement des diagrammes en bâtons, histogrammes, circulaires, etc.

• Les séries statistiques décrivent un caractère sur une population.
• Les effectifs et fréquences quantifient la présence de chaque valeur.
• Les représentations graphiques visualisent la distribution.
• Les indicateurs de position (moyenne, médiane, mode) donnent la tendance centrale.
• Les indicateurs de dispersion (étendue, quartiles, écart interquartile) mesurent l'étalement des données.
• Toujours choisir le bon outil et le bon indicateur en fonction du type de données et de la question posée.
• Erreurs à éviter : confondre moyenne et médiane, mal interpréter un graphique, ne pas ranger les données pour calculer la médiane ou les quartiles.