Les triangles semblables

Imagine deux photos du même objet : l'une est grande, l'autre est petite. Elles ont la même forme, mais pas la même taille. C'est exactement l'idée derrière les triangles semblables !

Deux triangles sont dits semblables s'ils ont la même forme. Cela signifie que :

1. Leurs angles sont égaux deux à deux.
2. Leurs côtés sont proportionnels.

C'est une différence clé avec les triangles isométriques (ou égaux) qui ont à la fois la même forme ET la même taille (leurs angles sont égaux et leurs côtés sont de même longueur). Les triangles semblables sont des agrandissements ou des réductions l'un de l'autre.

Lorsque deux triangles sont semblables, il est crucial d'identifier leurs parties homologues (ou correspondantes).

Soient deux triangles semblables $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$.

• Angles homologues : Ce sont les angles qui sont égaux. Par exemple, si $\hat{A} = \hat{D}$, $\hat{B} = \hat{E}$ et $\hat{C} = \hat{F}$, alors les sommets A et D sont homologues, B et E sont homologues, C et F sont homologues.
• Côtés homologues : Ce sont les côtés qui sont opposés à des angles homologues, ou qui relient des sommets homologues.
  • Le côté $[AB]$ est homologue au côté $[DE]$ (ils sont opposés aux angles $\hat{C}$ et $\hat{F}$ qui sont égaux).
  • Le côté $[BC]$ est homologue au côté $[EF]$.
  • Le côté $[AC]$ est homologue au côté $[DF]$.

Pour bien les noter, on écrit souvent les sommets dans l'ordre des correspondances. Si $\triangle ABC$ est semblable à $\triangle DEF$, cela signifie que A correspond à D, B à E, et C à F.

Puisque les côtés homologues des triangles semblables sont proportionnels, il existe un nombre $k$ appelé rapport de similitude (ou de proportionnalité).

Si $\triangle ABC$ est semblable à $\triangle DEF$, alors : $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$

• Si $k > 1$, $\triangle ABC$ est un agrandissement de $\triangle DEF$.
• Si $0 < k < 1$, $\triangle ABC$ est une réduction de $\triangle DEF$.
• Si $k = 1$, les triangles sont isométriques.

Ce rapport $k$ est essentiel ! Il permet de passer des longueurs d'un triangle aux longueurs de l'autre. Le rapport de similitude est toujours le même pour tous les couples de côtés homologues.

C'est le plus intuitif : Deux triangles sont semblables si deux paires d'angles homologues sont égales. En fait, si deux angles sont égaux, le troisième l'est automatiquement (car la somme des angles d'un triangle est $180^\circ$). Donc, il suffit de démontrer que deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre.

• Exemple : Si dans $\triangle ABC$, $\hat{A} = 30^\circ$ et $\hat{B} = 70^\circ$. Et dans $\triangle DEF$, $\hat{D} = 30^\circ$ et $\hat{E} = 70^\circ$. Alors $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont semblables.

Ce critère se concentre sur les longueurs des côtés : Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Pour l'utiliser, il faut calculer les rapports des côtés homologues (le plus grand avec le plus grand, le moyen avec le moyen, le petit avec le petit) et vérifier qu'ils sont tous égaux au même rapport $k$.

• Exemple : Soient $\triangle ABC$ avec $AB=3, BC=4, AC=5$ et $\triangle DEF$ avec $DE=6, EF=8, DF=10$. On calcule les rapports : $\frac{DE}{AB} = \frac{6}{3} = 2$, $\frac{EF}{BC} = \frac{8}{4} = 2$, $\frac{DF}{AC} = \frac{10}{5} = 2$. Puisque les rapports sont égaux ($k=2$), les triangles sont semblables.

Ce critère combine côtés et angle : Deux triangles sont semblables si un angle de l'un est égal à un angle de l'autre, et si les côtés qui comprennent cet angle sont proportionnels. L'ordre est important : l'angle doit être "pris entre" les deux côtés dont on vérifie la proportionnalité.

• Exemple : Soient $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$. Si $\hat{A} = \hat{D}$ et que $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = k$. Alors $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont semblables. Il est crucial que l'angle soit bien l'angle entre les deux côtés proportionnels.

C'est l'une des applications les plus courantes. Grâce au rapport de similitude, on peut trouver la longueur d'un côté inconnu si on connaît suffisamment d'informations.

Méthode :

1. Démontrer que les triangles sont semblables (en utilisant un des critères).
2. Identifier les côtés homologues.
3. Écrire l'égalité des rapports de proportionnalité.
4. Utiliser un produit en croix pour trouver la longueur inconnue.

• Exemple : Si $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ avec $AB=4, BC=6, DE=8$. On cherche $EF$. On sait que $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$. $\frac{4}{8} = \frac{6}{EF} \Rightarrow 4 \times EF = 8 \times 6 \Rightarrow 4 \times EF = 48 \Rightarrow EF = 12$.

Les rapports de similitude ne s'appliquent pas de la même manière aux périmètres et aux aires :

• Périmètres : Si le rapport de similitude des longueurs est $k$, alors le rapport des périmètres est aussi $k$. $P_{ABC} = k \times P_{DEF}$
• Aires : Si le rapport de similitude des longueurs est $k$, alors le rapport des aires est $k^2$. $A_{ABC} = k^2 \times A_{DEF}$

Retenez bien : pour les longueurs (côtés, périmètres), le rapport est $k$. Pour les aires, le rapport est $k^2$.

Le théorème de Thalès est en fait un cas particulier des triangles semblables !

Considérons deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$. Si $(BC)$ est parallèle à $(MN)$, alors :

• Les angles $\hat{ABC}$ et $\hat{AMN}$ sont égaux (angles correspondants).
• Les angles $\hat{ACB}$ et $\hat{ANM}$ sont égaux (angles correspondants).
• L'angle $\hat{BAC}$ est commun aux deux triangles. Donc, les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle AMN$ sont semblables (critère AAA).

De cette similitude découle l'égalité des rapports de Thalès : $\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$ Ceci montre que les triangles emboîtés (configuration de Thalès classique) sont toujours semblables. La configuration "papillon" de Thalès fonctionne aussi sur le même principe de similitude.

C'est souvent la première étape et la plus délicate.

• Cherchez des angles égaux :
  • Angles opposés par le sommet.
  • Angles alternes-internes ou correspondants (si des droites sont parallèles).
  • Angles droits.
  • Angles communs à deux triangles.
• Cherchez des rapports de côtés : Si des longueurs sont données, calculez des rapports pour voir s'ils sont constants.

Une démonstration rigoureuse suit ces étapes :

1. Identifier les triangles que vous voulez prouver semblables (ex: "Considérons les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$").
2. Énoncer les conditions qui prouvent la similitude (angles égaux ou côtés proportionnels).
   • "On sait que $\hat{A} = \hat{D}$ (justification : ex: angles opposés par le sommet)."
   • "On sait que $\hat{B} = \hat{E}$ (justification : ex: angles correspondants car $(XY) // (ZW)$)."
3. Conclure en citant le critère utilisé.
   • "Donc, d'après le critère AAA (ou CCC, ou CAC) de similitude, les triangles $\triangle ABC$ et $\triangle DEF$ sont semblables."
4. Préciser l'ordre des sommets : "Ainsi, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$." Ceci est très important pour la suite.

Les triangles semblables sont partout !

• Calcul de hauteurs inaccessibles : Mesurer la hauteur d'un arbre ou d'un bâtiment en utilisant l'ombre ou un miroir.
• Cartographie et plans : Les cartes sont des réductions de la réalité, basées sur la similitude.
• Optique : Le principe de la vision, des lentilles, des télescopes utilise la similitude.
• Arts et design : Proportion et perspective.

Par exemple, pour calculer la hauteur d'un arbre :

1. Mesurer la taille d'une personne et la longueur de son ombre.
2. Mesurer la longueur de l'ombre de l'arbre.
3. Les rayons du soleil étant parallèles, on forme deux triangles rectangles semblables.
4. Utiliser le rapport de similitude pour trouver la hauteur de l'arbre.

C'est un outil très puissant pour résoudre des problèmes concrets !