Lhomothetie

Une transformation géométrique est une opération qui déplace ou modifie une figure dans le plan ou dans l'espace. Elle associe à chaque point de la figure de départ (appelée antécédent) un nouveau point (appelé image).

Voici quelques transformations que tu connais déjà :

• Translation : Glisser une figure sans la tourner ni la déformer.
• Rotation : Faire tourner une figure autour d'un point fixe.
• Symétrie axiale : Replier une figure le long d'une droite (axe).
• Symétrie centrale : Faire tourner une figure de 180° autour d'un point (centre).

Ces transformations ont une propriété commune : elles conservent les longueurs, les angles et les aires. On dit qu'elles sont des isométries. L'homothétie, elle, est différente car elle modifie les longueurs !

Imagine que tu regardes une photo sur ton téléphone et que tu la "pinces" pour l'agrandir ou la réduire. C'est exactement l'idée derrière l'homothétie !

Une homothétie est une transformation qui permet d'obtenir une figure plus grande (un agrandissement) ou plus petite (une réduction) que la figure de départ, tout en conservant sa forme.

Pour définir une homothétie, il faut deux éléments clés :

1. Un point fixe appelé le centre de l'homothétie. C'est le point à partir duquel l'agrandissement ou la réduction est effectué.
2. Un nombre non nul appelé le rapport de l'homothétie. C'est ce nombre qui indique si la figure est agrandie ou réduite, et dans quelles proportions.

Pour bien comprendre l'homothétie, voici le vocabulaire essentiel :

• Centre d'homothétie ($O$) : C'est le point fixe autour duquel s'effectue l'agrandissement ou la réduction.
• Rapport d'homothétie ($k$) : C'est un nombre réel non nul qui détermine l'ampleur de l'agrandissement ou de la réduction.
  • Si $k > 0$, l'image est du même côté que la figure par rapport au centre.
  • Si $k < 0$, l'image est de l'autre côté par rapport au centre.
  • Si $|k| > 1$, c'est un agrandissement.
  • Si $0 < |k| < 1$, c'est une réduction.
  • Si $|k| = 1$, la figure ne change pas de taille (c'est l'identité si $k=1$ ou une symétrie centrale si $k=-1$).
• Image d'un point/figure : C'est le nouveau point ou la nouvelle figure obtenue après l'application de l'homothétie. Par exemple, l'image du point $M$ est notée $M'$.

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

1. Trace la droite $(OM)$ qui passe par le centre $O$ et le point $M$.
2. L'image $M'$ se trouve sur cette droite.
3. La distance $OM'$ est égale à $|k| \times OM$.
4. Le positionnement de $M'$ dépend du signe de $k$ :
   • Si $k > 0$, $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$.
   • Si $k < 0$, $M'$ est sur la demi-droite opposée à $[OM)$, c'est-à-dire sur la demi-droite $[OM')$ telle que $O$ est entre $M$ et $M'$.

Quand le rapport $k$ est positif :

• Le point $M$ et son image $M'$ sont du même côté par rapport au centre $O$.
• Si $k > 1$, l'homothétie est un agrandissement. La figure est plus grande.
• Si $0 < k < 1$, l'homothétie est une réduction. La figure est plus petite.

Exemple : Soit un point $M$, un centre $O$ et $k=2$. On trace la droite $(OM)$. On place $M'$ sur cette droite, du même côté que $M$ par rapport à $O$, tel que $OM' = 2 \times OM$.

Quand le rapport $k$ est négatif :

• Le point $M$ et son image $M'$ sont de part et d'autre du centre $O$. Le centre $O$ est toujours entre $M$ et $M'$.
• Si $k < -1$ (par exemple $k=-2$), c'est un agrandissement. La figure est plus grande et "retournée".
• Si $-1 < k < 0$ (par exemple $k=-0.5$), c'est une réduction. La figure est plus petite et "retournée".

Exemple : Soit un point $M$, un centre $O$ et $k=-2$. On trace la droite $(OM)$. On place $M'$ sur cette droite, de l'autre côté de $O$ par rapport à $M$, tel que $OM' = |-2| \times OM = 2 \times OM$.

Pour construire l'image d'une figure (segment, triangle, cercle) par homothétie, il suffit de construire l'image de ses points "caractéristiques" :

• Image d'un segment $[AB]$ : On construit l'image $A'$ de $A$ et l'image $B'$ de $B$. L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$.
• Image d'un triangle $ABC$ : On construit l'image $A'$ de $A$, $B'$ de $B$ et $C'$ de $C$. L'image du triangle $ABC$ est le triangle $A'B'C'$.
• Image d'un cercle (C) :
  • Le centre $O_c$ du cercle (C) a pour image $O_c'$.
  • Le rayon $r$ du cercle (C) a pour image $r' = |k| \times r$.
  • L'image d'un cercle est un cercle.

• Alignement : Le centre d'homothétie $O$, un point $M$ et son image $M'$ sont toujours alignés.
• Conservation de l'alignement : Si trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, leurs images $A'$, $B'$, $C'$ sont aussi alignées.
• Parallélisme : L'image d'une droite par homothétie est une droite qui lui est parallèle.
  • Par exemple, si $(AB)$ est une droite, son image $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$.

• Conservation des angles : Une homothétie conserve la mesure des angles. Si l'angle $\widehat{ABC}$ mesure $x$ degrés, son image $\widehat{A'B'C'}$ mesurera également $x$ degrés.
• Conservation des formes : Puisque les angles sont conservés, la figure image a la même forme que la figure de départ. On dit que les deux figures sont semblables.
  • Un carré reste un carré, un triangle équilatéral reste un triangle équilatéral, etc.

C'est ici que l'homothétie diffère des isométries !

• Longueurs : Les longueurs sont multipliées par le rapport d'homothétie en valeur absolue, $|k|$.
  • Si un segment a une longueur $L$, son image aura une longueur $L' = |k| \times L$.
• Aires : Les aires sont multipliées par le carré du rapport d'homothétie, $k^2$.
  • Si une figure a une aire $A$, son image aura une aire $A' = k^2 \times A$.
• Volumes : Les volumes sont multipliés par le cube du rapport d'homothétie en valeur absolue, $|k|^3$.
  • Si un solide a un volume $V$, son image aura un volume $V' = |k|^3 \times V$.

Pour savoir si une figure est l'image d'une autre par homothétie :

1. Vérifier la forme : Les deux figures doivent être semblables (avoir la même forme, les mêmes angles).
2. Identifier le centre : Si les figures sont homologues (par exemple, $A'$ est l'image de $A$), les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ doivent être concourantes en un point $O$. Ce point $O$ est le centre de l'homothétie.
3. Calculer le rapport : Le rapport $k$ peut être trouvé en calculant le rapport des longueurs des segments homologues : $k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{O A'}{O A}$. Attention au signe de $k$ ! Si $O$ est entre $A$ et $A'$, alors $k$ est négatif.

• Agrandissement : C'est une homothétie de rapport $k$ tel que $|k| > 1$. La figure image est plus grande que la figure de départ.
• Réduction : C'est une homothétie de rapport $k$ tel que $0 < |k| < 1$. La figure image est plus petite que la figure de départ.

Ces concepts sont très importants dans la vie courante.

L'homothétie est partout autour de nous :

• Cartes géographiques et plans d'architecte : Ils sont des réductions homothétiques de la réalité. L'échelle de la carte est le rapport $k$.
• Photocopieuse ou projecteur vidéo : Ils réalisent des agrandissements ou des réductions.
• Modélisation : Les maquettes de bâtiments, les modèles réduits de voitures ou d'avions sont des homothéties.
• Optique : Le fonctionnement d'une loupe ou d'un télescope peut être lié à des concepts d'homothétie.

Soit un point $M(x;y)$, son image $M'(x';y')$, et une homothétie de centre $O(x_O;y_O)$ et de rapport $k$.

La formule générale pour trouver les coordonnées de $M'$ est : $x' - x_O = k \times (x - x_O)$ $y' - y_O = k \times (y - y_O)$

Ce qui donne : $x' = k \times (x - x_O) + x_O$ $y' = k \times (y - y_O) + y_O$

• Cas particulier : Centre à l'origine $(0;0)$ Si le centre $O$ est l'origine du repère $(0;0)$, les formules se simplifient : $x' = kx$ $y' = ky$

• Calcul du rapport $k$ : Si tu connais un point $M$, son image $M'$ et le centre $O$, tu peux calculer $k = \frac{OM'}{OM}$. N'oublie pas de vérifier si $O$ est entre $M$ et $M'$ pour le signe. Si tu as les coordonnées de $M(x;y)$ et $M'(x';y')$ et que $O$ est l'origine, alors $k = \frac{x'}{x} = \frac{y'}{y}$.
• Calcul du centre $O$ : Si tu connais un point $M$, son image $M'$, et le rapport $k$, tu peux trouver les coordonnées du centre $O(x_O;y_O)$ en utilisant les formules précédentes et en résolvant un système d'équations. Par exemple, si $M(x;y)$ et $M'(x';y')$ sont donnés, et $k$ est connu : $x_O = \frac{x' - kx}{1 - k}$ $y_O = \frac{y' - ky}{1 - k}$ Ces formules ne sont valables que si $k \neq 1$. Si $k=1$, il n'y a pas de centre unique, c'est l'identité.

1. Calcul de coordonnées : Soit $A(2;3)$, $O(1;1)$ et $k=-2$. Calcule les coordonnées de $A'$. $x_A' = -2 \times (2 - 1) + 1 = -2 \times 1 + 1 = -1$ $y_A' = -2 \times (3 - 1) + 1 = -2 \times 2 + 1 = -3$ Donc $A'(-1;-3)$.

2. Détermination d'éléments d'une homothétie : Soit $A(1;2)$, $A'(3;6)$ et $O(0;0)$. Détermine le rapport $k$. $k = \frac{x_{A'}}{x_A} = \frac{3}{1} = 3$. Vérifions avec $y$: $k = \frac{y_{A'}}{y_A} = \frac{6}{2} = 3$. Le rapport est $k=3$.

Ces outils permettent de résoudre des problèmes de géométrie analytique complexes en utilisant les propriétés de l'homothétie.