Organisation et gestion de données, fonctions

Les statistiques nous aident à comprendre des ensembles de données. Pour cela, il faut connaître un vocabulaire précis :

• Population : C'est l'ensemble de tous les individus ou objets étudiés. Par exemple, tous les élèves d'un collège.
• Échantillon : C'est une partie de la population que l'on étudie quand la population est trop grande. Par exemple, une classe de 3ème.
• Individu : Un élément de la population, par exemple un élève.
• Caractère : C'est ce que l'on observe ou mesure sur chaque individu.
  • Caractère qualitatif : On ne peut pas le mesurer (ex: couleur des yeux, sport préféré).
  • Caractère quantitatif : On peut le mesurer ou le compter (ex: taille, âge, nombre de frères et sœurs).
• Effectif : C'est le nombre d'individus qui possèdent une certaine valeur du caractère. L'effectif total est le nombre total d'individus dans l'étude.
• Fréquence : C'est la proportion de l'effectif d'une valeur par rapport à l'effectif total.
  • Formule : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
  • Elle peut s'exprimer en fraction, en nombre décimal, ou en pourcentage.
  • La somme de toutes les fréquences (ou pourcentages) doit être égale à 1 (ou 100%).

Les indicateurs de position nous donnent une idée de la "tendance centrale" des données.

• Moyenne arithmétique ($\bar{x}$) : C'est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.
  • Pour une série simple : $\bar{x} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{Nombre de valeurs}}$
  • Pour une série avec effectifs (moyenne pondérée) : Si les valeurs sont $x_1, x_2, ..., x_p$ avec les effectifs $n_1, n_2, ..., n_p$ : $\bar{x} = \frac{(x_1 \times n_1) + (x_2 \times n_2) + ... + (x_p \times n_p)}{n_1 + n_2 + ... + n_p}$
• Médiane (Me) : C'est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif (50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales).
  • Pour la calculer, il faut d'abord ranger les valeurs par ordre croissant.
  • Si l'effectif total ($N$) est impair : la médiane est la valeur de position $\frac{N+1}{2}$.
  • Si l'effectif total ($N$) est pair : la médiane est n'importe quelle valeur entre les deux valeurs centrales (celles de position $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$). Souvent, on prend la moyenne de ces deux valeurs.
• Mode : C'est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif. Une série statistique peut avoir un mode, plusieurs modes, ou pas de mode du tout.

Ils mesurent comment les données sont étalées.

• Étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
  • $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$
• Quartiles (Q1, Q3) : Après avoir rangé les données par ordre croissant :
  • Premier quartile (Q1) : C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui soient inférieures ou égales. On calcule sa position en faisant $\frac{N}{4}$. Si le résultat est un entier, Q1 est la valeur de cette position. Sinon, Q1 est la valeur de la position entière supérieure.
  • Troisième quartile (Q3) : C'est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui soient inférieures ou égales. On calcule sa position en faisant $\frac{3N}{4}$. Si le résultat est un entier, Q3 est la valeur de cette position. Sinon, Q3 est la valeur de la position entière supérieure.
• Intervalle interquartile : C'est l'étendue des 50% des valeurs centrales de la série.
  • $\text{Intervalle interquartile} = Q3 - Q1$
  • Il est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.

Les graphiques permettent de visualiser rapidement les données.

• Diagramme en bâtons : Utilisé pour les caractères quantitatifs discrets (valeurs isolées). La hauteur des bâtons représente l'effectif ou la fréquence.
• Diagramme circulaire (ou "camembert") : Utilisé pour les caractères qualitatifs. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif ou la fréquence.
  • Angle = $\text{Fréquence} \times 360^\circ$
• Histogramme : Utilisé pour les caractères quantitatifs continus regroupés en classes. L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Attention, les rectangles sont collés.
• Nuage de points : Utilisé pour représenter la relation entre deux caractères quantitatifs. Chaque point correspond à un individu avec ses deux valeurs.

Les probabilités étudient le hasard.

• Expérience aléatoire : C'est une expérience dont le résultat dépend du hasard et ne peut pas être prédit avec certitude (ex: lancer un dé, tirer une carte).
• Univers ($\Omega$) : C'est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • Ex: Pour un dé à 6 faces, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Événement : C'est un sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire une ou plusieurs issues possibles.
  • Événement élémentaire : Ne contient qu'une seule issue (ex: obtenir un 3 en lançant un dé).
  • Événement impossible : Ne peut jamais se produire (probabilité de 0).
  • Événement certain : Se produit toujours (probabilité de 1).
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps (leur intersection est vide).
  • Ex: Obtenir un nombre pair et obtenir un 3 avec un dé.

La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1.

• Définition d'une probabilité : Pour une expérience où toutes les issues sont équiprobables (ont la même chance de se produire) :
  • $P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues possibles}}$
• Probabilité d'un événement : C'est la somme des probabilités de ses événements élémentaires.
• Probabilité de l'événement contraire ($\bar{A}$) : Si A est un événement, $\bar{A}$ est l'événement "A ne se réalise pas".
  • $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• Probabilité d'une union d'événements ($A \cup B$) : C'est la probabilité que l'événement A ou l'événement B (ou les deux) se réalise.
  • Si $A$ et $B$ sont incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
  • Si $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (où $A \cap B$ est l'événement "A et B se réalisent").

Les arbres sont très utiles pour visualiser et calculer les probabilités d'événements successifs.

• Construction d'un arbre :
  • Chaque branche représente une issue possible.
  • Les probabilités sont écrites sur les branches.
  • La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud doit être 1.
• Chemins et probabilités :
  • Un chemin représente une suite d'événements.
  • La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées sur ce chemin.
• Événements successifs : Permet de modéliser des expériences en plusieurs étapes.
  • Ex: Tirer deux boules successivement d'une urne (avec ou sans remise).

Une fonction est un outil mathématique qui transforme un nombre en un autre.

• Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'entrée, associe un unique nombre de sortie.
• On la note souvent $f: x \mapsto f(x)$ ou $y = f(x)$.
• Variable : Le nombre d'entrée, souvent noté $x$.
• Image : Le nombre de sortie obtenu par la fonction. On dit que $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.
• Antécédent : Le nombre $x$ dont $f(x)$ est l'image. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents par une fonction.

Exemple : Si $f(x) = 2x + 1$

• L'image de 3 est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
• L'antécédent de 7 est 3.

Une fonction peut être représentée de plusieurs manières :

• Formule (expression algébrique) : C'est la manière la plus courante. On écrit $f(x) = ...$.
  • Ex: $f(x) = x^2 - 3$.
• Tableau de valeurs : Il liste des valeurs d'entrée et leurs images correspondantes.

• Représentation graphique : Dans un repère, chaque point $(x; y)$ de la courbe a pour coordonnées un nombre $x$ et son image $y = f(x)$. L'axe horizontal est l'axe des antécédents ($x$), l'axe vertical est l'axe des images ($y$).
• Programme de calcul : Une suite d'instructions pour obtenir l'image à partir de l'antécédent.
  • Ex: "Choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 1." Cela correspond à $f(x) = 2x + 1$.

• Calculer l'image d'un nombre :
  • Avec une formule : On remplace $x$ par la valeur donnée et on calcule.
  • Avec un tableau : On cherche la valeur dans la ligne des $x$ et on lit l'image correspondante dans la ligne des $f(x)$.
  • Avec un graphique : On se place sur l'axe des $x$ à la valeur donnée, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des $y$.
• Déterminer l'antécédent d'un nombre :
  • Avec une formule : On résout l'équation $f(x) = \text{valeur donnée}$.
  • Avec un tableau : On cherche la valeur donnée dans la ligne des $f(x)$ et on lit l'antécédent(s) correspondant(s) dans la ligne des $x$.
  • Avec un graphique : On se place sur l'axe des $y$ à la valeur donnée, on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit la ou les valeurs sur l'axe des $x$.

Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction qui traduit une situation de proportionnalité.

• Sa forme est toujours $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé (le coefficient de proportionnalité ou coefficient directeur).
• Propriétés :
  • L'image de 0 est toujours 0 : $f(0) = a \times 0 = 0$.
  • Si on double l'antécédent, on double l'image : $f(2x) = a \times (2x) = 2(ax) = 2f(x)$.
  • La relation $y = ax$ signifie que le rapport $\frac{y}{x}$ est constant et égal à $a$ (pour $x \neq 0$).

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère (le point $(0;0)$).

• Le coefficient $a$ est la pente de la droite.
  • Si $a > 0$, la droite "monte".
  • Si $a < 0$, la droite "descend".
  • Si $a = 0$, la droite est horizontale (l'axe des abscisses).
• Tracé à partir de deux points : Puisque la droite passe par l'origine $(0;0)$, il suffit de connaître un deuxième point pour la tracer. On peut choisir une valeur simple pour $x$, par exemple $x=1$, et calculer $f(1)=a$. Le deuxième point est alors $(1;a)$.

Les fonctions linéaires sont utilisées pour modéliser toutes les situations de proportionnalité :

• Prix en fonction de la quantité.
• Distance parcourue en fonction du temps à vitesse constante.
• Pourcentage, échelles, etc.
• Résolution graphique : Lire des images ou antécédents sur le graphique.
• Résolution par le calcul : Utiliser la formule $f(x) = ax$ pour trouver des valeurs.

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

• $a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite.
• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'image de 0 : $f(0) = a \times 0 + b = b$. C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
• Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.

• Elle ne passe pas forcément par l'origine (sauf si $b=0$). Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0;b)$.
• Tracé à partir de deux points : Pour tracer une droite, il suffit de deux points. On choisit deux valeurs de $x$ (par exemple $x=0$ et $x=1$), on calcule leurs images $f(0)=b$ et $f(1) = a+b$, et on place les points $(0;b)$ et $(1; a+b)$.
• Interprétation de $a$ et $b$ :
  • $a$ : La pente de la droite. Pour chaque augmentation de 1 unité sur l'axe des $x$, l'image $y$ varie de $a$ unités.
  • $b$ : Le point où la droite traverse l'axe vertical (axe des $y$).

Comment trouver la formule $f(x) = ax + b$ d'une fonction affine ?

• À partir de deux points : Si on connaît les coordonnées de deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ appartenant à la droite :
  1. Calculer le coefficient directeur $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
  2. Utiliser un des points (par exemple $A$) et la valeur de $a$ dans l'équation $y_A = a x_A + b$ pour trouver $b$.
• À partir d'un point et du coefficient directeur : Si on connaît $a$ et un point $A(x_A; y_A)$ :
  1. On remplace $a$, $x_A$, et $y_A$ dans l'équation $y_A = a x_A + b$ pour trouver $b$.
• Par lecture graphique :
  1. Lire l'ordonnée à l'origine $b$ (l'intersection de la droite avec l'axe des $y$).
  2. Pour trouver $a$, on part d'un point de la droite, on se déplace de 1 unité vers la droite, puis on monte ou descend jusqu'à retrouver la droite. Le déplacement vertical est la valeur de $a$.

Les fonctions affines sont très utilisées pour modéliser des situations où il y a un coût fixe et un coût variable, ou une valeur de départ et une évolution constante.

• Un forfait téléphonique (coût fixe + coût par minute).
• Le prix d'une course de taxi (prise en charge + prix par kilomètre).
• Modélisation de situations : Transformer un problème concret en une fonction affine.
• Comparaison de fonctions : Trouver des points d'intersection de deux droites (résoudre $f(x) = g(x)$) pour comparer des offres ou des situations.
• Résolution d'équations graphiquement : Trouver $x$ tel que $f(x) = k$ (tracer la droite $y=k$ et trouver l'intersection).