Statistiques et probabilités : événements aléatoires

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Le hasard joue un rôle. Exemples :

• Lancer un dé à six faces.
• Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes.
• Lancer une pièce de monnaie.

Une issue (ou un résultat) est un des résultats possibles d'une expérience aléatoire. Exemples pour le lancer de dé : Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. Exemples pour le lancer de pièce : Les issues sont Pile, Face.

Un événement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire. C'est une description de ce qui peut se produire. Exemples pour le lancer de dé :

• "Obtenir un nombre pair" est un événement (issues : 2, 4, 6).
• "Obtenir un nombre supérieur à 4" est un événement (issues : 5, 6).

Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue. Exemples pour le lancer de dé :

• "Obtenir 3" est un événement élémentaire (issue : 3).
• "Obtenir 6" est un événement élémentaire (issue : 6).

• Événement certain : C'est un événement qui se réalise toujours. Sa probabilité est de 1 (ou 100 %). Exemple : "Obtenir un nombre inférieur à 7" en lançant un dé à six faces.
• Événement impossible : C'est un événement qui ne se réalise jamais. Sa probabilité est de 0 (ou 0 %). Exemple : "Obtenir 7" en lançant un dé à six faces.
• Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) : Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ils n'ont aucune issue en commun. Exemple : En lançant un dé, l'événement "obtenir un nombre pair" (2, 4, 6) et l'événement "obtenir un nombre impair" (1, 3, 5) sont incompatibles.

L'approche fréquentiste consiste à estimer une probabilité en répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire et en observant la fréquence d'apparition d'un événement. La fréquence d'un événement est le rapport : $\frac{\text{nombre de fois où l'événement se produit}}{\text{nombre total de répétitions de l'expérience}}$.

La loi des grands nombres stipule que lorsque l'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement tend à se rapprocher de sa probabilité théorique. Cette approche permet d'estimer des probabilités lorsque le calcul théorique est difficile ou impossible.

L'équiprobabilité signifie que toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même chance de se produire. Exemples : Lancer un dé "équilibré", tirer une carte d'un jeu "bien mélangé".

Dans un cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est donnée par la formule : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à A}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$ Exemple : En lançant un dé équilibré, la probabilité d'obtenir un nombre pair (événement A) est : Cas favorables à A : {2, 4, 6} -> 3 cas Cas possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> 6 cas $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.

• La probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (inclus). $0 \le P(A) \le 1$.
  • $P(A) = 0$ signifie que l'événement A est impossible.
  • $P(A) = 1$ signifie que l'événement A est certain.
• La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à 1.
• La probabilité de l'événement contraire de A (noté $\bar{A}$ ou $A^c$) est $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
  • Si la probabilité de "obtenir un 6" est $\frac{1}{6}$, alors la probabilité de "ne pas obtenir un 6" est $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Les tableaux à double entrée sont utiles pour organiser les données lorsque l'on considère deux critères simultanément. Ils permettent de visualiser facilement les fréquences ou les effectifs des différentes combinaisons. Exemple : Un tableau peut montrer la répartition des élèves par sexe et par pratique d'un sport.

À partir de ce tableau, on peut calculer des probabilités si on tire un élève au hasard. $P(\text{Fille et Sportive}) = \frac{15}{50} = 0,3$. $P(\text{Garçon}) = \frac{25}{50} = 0,5$.

Les arbres des possibles (ou arbres de probabilités) sont des schémas qui représentent toutes les issues possibles d'une suite d'expériences aléatoires successives.

• Chaque branche représente une issue possible à une étape.
• Le chemin le long des branches représente une suite d'issues (une issue finale).
• On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'issue finale correspondante.

Exemple : Lancer une pièce deux fois.

Départ
  |-- Pile (0.5) --|-- Pile (0.5) --> (P, P)  P(P,P) = 0.5 * 0.5 = 0.25
  |               |-- Face (0.5) --> (P, F)  P(P,F) = 0.5 * 0.5 = 0.25
  |-- Face (0.5) --|-- Pile (0.5) --> (F, P)  P(F,P) = 0.5 * 0.5 = 0.25
                  |-- Face (0.5) --> (F, F)  P(F,F) = 0.5 * 0.5 = 0.25

La somme des probabilités de toutes les issues finales doit être égale à 1.

L'événement contraire d'un événement A, noté $\bar{A}$ (ou $A^c$), est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Exemple : Si A est "obtenir un 6" en lançant un dé, alors $\bar{A}$ est "ne pas obtenir un 6" (c'est-à-dire obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5). La relation fondamentale est $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

• Si $P(A) = \frac{1}{6}$, alors $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Cette propriété est très utile pour calculer la probabilité d'événements complexes en passant par leur contraire, souvent plus simple à calculer.

Soient A et B deux événements.

• L'intersection de A et B, notée $A \cap B$ (lire "A et B"), est l'événement qui se réalise si A ET B se réalisent en même temps. Les issues de $A \cap B$ sont les issues communes à A et B. Exemple : En lançant un dé, si A = "obtenir un nombre pair" ({2, 4, 6}) et B = "obtenir un nombre supérieur à 3" ({4, 5, 6}), alors $A \cap B$ = "obtenir un nombre pair ET supérieur à 3" = {4, 6}.
• L'union de A et B, notée $A \cup B$ (lire "A ou B"), est l'événement qui se réalise si A OU B (ou les deux) se réalisent. Les issues de $A \cup B$ sont toutes les issues qui sont dans A, ou dans B, ou dans les deux. Exemple : Avec les mêmes A et B, $A \cup B$ = "obtenir un nombre pair OU supérieur à 3" = {2, 4, 6, 5}. (On ne répète pas les éléments).

On peut représenter ces opérations avec des diagrammes de Venn.

La formule générale pour calculer la probabilité de l'union de deux événements A et B est : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ On soustrait $P(A \cap B)$ parce que les issues communes (celles de $A \cap B$) sont comptées deux fois (une fois dans $P(A)$ et une fois dans $P(B)$).

Cas particulier : Si A et B sont des événements incompatibles, alors $A \cap B$ est l'événement impossible, donc $P(A \cap B) = 0$. Dans ce cas, la formule se simplifie : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ Il est crucial de savoir si les événements sont incompatibles ou non pour choisir la bonne formule.

Pour résoudre un problème de probabilité :

1. Identifier l'expérience aléatoire et toutes ses issues possibles (l'univers $\Omega$).
2. Déterminer si l'expérience est équiprobable. Si oui, on peut utiliser la formule $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
3. Définir clairement l'événement dont on cherche la probabilité.
4. Compter le nombre de cas favorables à cet événement et le nombre total de cas possibles.
5. Calculer la probabilité et la présenter sous forme de fraction irréductible, de décimal ou de pourcentage.

Ces problèmes sont souvent modélisés par des arbres de probabilités.

• Tirage avec remise : Après chaque tirage, l'objet est remis dans l'ensemble. Les tirages sont indépendants. Les probabilités restent les mêmes à chaque étape. Exemple : Tirer une boule d'une urne, noter sa couleur, la remettre, puis tirer une autre boule.
• Tirage sans remise : L'objet tiré n'est pas remis. Les tirages ne sont pas indépendants. Les probabilités changent à chaque étape car le nombre total d'objets et/ou le nombre d'objets d'une certaine catégorie diminuent. Exemple : Tirer une carte d'un jeu, ne pas la remettre, puis tirer une deuxième carte.

Les probabilités sont utilisées dans de nombreux domaines :

• Météo : Probabilité de pluie.
• Jeux de hasard : Calcul des chances de gagner.
• Médecine : Probabilité d'être malade, fiabilité d'un test.
• Assurances : Calcul des risques.

Il est important de comprendre les limites des modèles probabilistes. Ils décrivent ce qui est probable, pas ce qui est certain. Un événement de faible probabilité peut se produire, et un événement de forte probabilité peut ne pas se produire. Les modèles reposent sur des hypothèses (ex: dé équilibré) qui ne sont pas toujours parfaitement vérifiées dans la réalité. La probabilité nous aide à prendre des décisions éclairées face à l'incertitude.