Systèmes d'équations à deux inconnues

Une équation à deux inconnues est une égalité qui contient deux variables, généralement notées $x$ et $y$. Le but est de trouver les valeurs de $x$ et de $y$ qui rendent cette égalité vraie.

Par exemple, $2x + 3y = 7$ est une équation à deux inconnues. Une solution de cette équation est un couple de nombres $(x; y)$ qui vérifie l'égalité. Pour l'équation $2x + 3y = 7$, le couple $(2; 1)$ est une solution car $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. Le couple $(5; -1)$ est aussi une solution car $2(5) + 3(-1) = 10 - 3 = 7$. Une équation à deux inconnues a généralement une infinité de solutions, car il existe de nombreux couples $(x; y)$ qui peuvent la vérifier.

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations à deux variables que l'on doit vérifier simultanément. On le présente souvent de la manière suivante :

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{array} \right.$$

où $a, b, c, a', b', c'$ sont des nombres connus, et $x, y$ sont les inconnues. La solution d'un système est un couple de nombres $(x; y)$ qui vérifie EN MÊME TEMPS les deux équations du système. C'est ce couple unique (ou l'ensemble des couples) que l'on cherche.

Pour vérifier si un couple $(x_0; y_0)$ est la solution d'un système, il faut le substituer dans chaque équation du système.

Méthode :

1. Remplacez $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ dans la première équation.
2. Calculez si l'égalité est vraie.
3. Remplacez $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ dans la deuxième équation.
4. Calculez si l'égalité est vraie.
5. Si les deux égalités sont vraies, alors le couple est solution du système. Sinon, il ne l'est pas.

Exemple : Le couple $(1; 2)$ est-il solution du système suivant ?

$$\left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 5 \quad (1) \\ x - 2y = -3 \quad (2) \end{array} \right.$$

Pour (1) : $3(1) + (2) = 3 + 2 = 5$. L'égalité est vraie. Pour (2) : $(1) - 2(2) = 1 - 4 = -3$. L'égalité est vraie. Puisque le couple $(1; 2)$ vérifie les deux équations, c'est bien la solution du système.

La méthode par substitution consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation. Cela permet de transformer le système en une seule équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre.

L'idée est de :

1. Choisir une équation et une inconnue à isoler.
2. Isoler cette inconnue (par exemple, $x = ...$ ou $y = ...$).
3. Remplacer l'expression obtenue dans l'autre équation.
4. Résoudre l'équation à une inconnue qui en résulte.

Prenons un exemple pour illustrer les étapes :

$$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 7 \quad (1) \\ 3x - y = 0 \quad (2) \end{array} \right.$$

1. Isoler une inconnue dans une des équations. Il est souvent plus simple de choisir l'inconnue qui a le coefficient le plus simple (par exemple 1 ou -1). Ici, isolons $y$ dans la deuxième équation (2) : $3x - y = 0 \Rightarrow -y = -3x \Rightarrow y = 3x$.

2. Substituer cette expression dans l'AUTRE équation (ici, la première équation (1)) : $x + 2(\underbrace{3x}_{y}) = 7$ $x + 6x = 7$

3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue : $7x = 7 \Rightarrow x = 1$.

4. Calculer la deuxième inconnue en utilisant l'expression isolée : Puisque $y = 3x$ et que $x = 1$, alors $y = 3(1) = 3$.

5. Vérifier la solution $(1; 3)$ dans le système initial : (1) : $1 + 2(3) = 1 + 6 = 7$. (Vrai) (2) : $3(1) - 3 = 3 - 3 = 0$. (Vrai) La solution du système est donc le couple $(1; 3)$. Cette méthode est très efficace quand une inconnue a un coefficient de 1 ou -1.

Cas 1 : Solution unique (le plus courant) Voir l'exemple précédent.

Cas 2 : Infinité de solutions

$$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \quad (1) \\ 2x + 2y = 6 \quad (2) \end{array} \right.$$

De (1), on tire $y = 3 - x$. On substitue dans (2) : $2x + 2(3 - x) = 6 \Rightarrow 2x + 6 - 2x = 6 \Rightarrow 6 = 6$. Lorsque vous obtenez une égalité toujours vraie (comme $6=6$ ou $0=0$), cela signifie que le système a une infinité de solutions. Les deux équations représentent la même droite.

Cas 3 : Aucune solution

$$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3 \quad (1) \\ x + y = 5 \quad (2) \end{array} \right.$$

De (1), on tire $y = 3 - x$. On substitue dans (2) : $x + (3 - x) = 5 \Rightarrow x + 3 - x = 5 \Rightarrow 3 = 5$. Lorsque vous obtenez une égalité fausse (comme $3=5$ ou $0=k$ avec $k \neq 0$), cela signifie que le système n'a aucune solution. Les deux équations représentent des droites parallèles distinctes.

La méthode par combinaison linéaire (ou par addition) consiste à multiplier chaque équation par un nombre choisi de manière à ce que, en additionnant les deux équations membre à membre, l'une des inconnues disparaisse.

L'idée est de :

1. Multiplier les équations par des nombres pour obtenir des coefficients opposés pour une des inconnues (par exemple, $3x$ et $-3x$, ou $2y$ et $-2y$).
2. Additionner les équations membre à membre.
3. Résoudre l'équation à une inconnue qui en résulte.

Prenons un exemple :

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 8 \quad (1) \\ 4x - y = 2 \quad (2) \end{array} \right.$$

1. Choisir l'inconnue à éliminer. Ici, c'est plus simple d'éliminer $y$. Pour cela, nous voulons un coefficient de $y$ qui soit l'opposé l'un de l'autre (par exemple $3y$ et $-3y$). L'équation (1) a $3y$. L'équation (2) a $-y$. Si on multiplie (2) par 3, on aura $-3y$.

2. Multiplier les équations : Équation (1) : $2x + 3y = 8$ (on ne la change pas) Équation (2) $\times 3$ : $3 \times (4x - y) = 3 \times 2 \Rightarrow 12x - 3y = 6$

3. Additionner les deux nouvelles équations membre à membre : $(2x + 3y) + (12x - 3y) = 8 + 6$ $2x + 12x + 3y - 3y = 14$ $14x = 14$

4. Résoudre l'équation à une inconnue : $14x = 14 \Rightarrow x = 1$.

5. Calculer la deuxième inconnue. On peut substituer la valeur de $x$ dans l'une des équations de départ. Utilisons (2) : $4(1) - y = 2 \Rightarrow 4 - y = 2 \Rightarrow -y = 2 - 4 \Rightarrow -y = -2 \Rightarrow y = 2$.

6. Vérifier la solution $(1; 2)$ dans le système initial : (1) : $2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$. (Vrai) (2) : $4(1) - 2 = 4 - 2 = 2$. (Vrai) La solution du système est donc le couple $(1; 2)$. Cette méthode est souvent privilégiée quand les coefficients sont plus complexes.

Astuce 1 : Multiplier les deux équations Parfois, il faut multiplier les deux équations pour éliminer une inconnue.

$$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 13 \quad (1) \\ 2x + 5y = 16 \quad (2) \end{array} \right.$$

Pour éliminer $x$ : Multiplions (1) par 2 et (2) par -3. (1) $\times 2$ : $6x + 4y = 26$ (2) $\times (-3)$ : $-6x - 15y = -48$ En additionnant : $(6x + 4y) + (-6x - 15y) = 26 - 48 \Rightarrow -11y = -22 \Rightarrow y = 2$. On substitue $y=2$ dans (1) : $3x + 2(2) = 13 \Rightarrow 3x + 4 = 13 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Solution : $(3; 2)$.

Astuce 2 : Simplifier les équations Avant de commencer, simplifiez les équations si possible (diviser tous les termes par un même nombre). Exemple : $10x + 15y = 35$ peut être simplifié en $2x + 3y = 7$ en divisant par 5.

Une équation linéaire à deux inconnues de la forme $ax + by = c$ représente graphiquement une droite dans un plan muni d'un repère. Chaque couple solution $(x; y)$ de l'équation correspond à un point de cette droite. Pour tracer une droite, il suffit de trouver deux points distincts qui vérifient l'équation. Par exemple, pour $x + 2y = 7$:

• Si $x=1$, $1+2y=7 \Rightarrow 2y=6 \Rightarrow y=3$. Point $(1; 3)$.
• Si $x=3$, $3+2y=7 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. Point $(3; 2)$. On place ces deux points et on trace la droite qui les relie.

Quand on a un système de deux équations à deux inconnues, chaque équation représente une droite. La solution du système est le couple $(x; y)$ qui vérifie les deux équations simultanément. Graphiquement, cela correspond au point d'intersection des deux droites. Les coordonnées de ce point sont la solution du système.

Exemple :

$$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 7 \quad (D_1) \\ 3x - y = 0 \quad (D_2) \end{array} \right.$$

Pour $D_1 (x + 2y = 7)$ : Points $(1; 3)$ et $(3; 2)$. Pour $D_2 (3x - y = 0)$ : Points $(0; 0)$ et $(1; 3)$. En traçant ces deux droites, on observe qu'elles se coupent au point $(1; 3)$. La solution du système est donc $(1; 3)$.

La résolution graphique permet de visualiser les cas particuliers déjà vus avec les méthodes algébriques :

1. Droites sécantes : C'est le cas le plus fréquent. Les deux droites se coupent en un unique point. Le système a alors une solution unique.

2. Droites parallèles distinctes : Les deux droites sont parallèles et ne se coupent jamais. Le système n'a aucune solution. Cela correspond à une égalité fausse (ex: $3=5$) lors de la résolution algébrique.

3. Droites confondues : Les deux équations représentent la même droite. Tous les points de cette droite sont des solutions. Le système a une infinité de solutions. Cela correspond à une égalité toujours vraie (ex: $0=0$) lors de la résolution algébrique.

La première étape pour résoudre un problème avec un système d'équations est de bien comprendre l'énoncé et de le traduire en langage mathématique.

Étapes :

1. Identifier les inconnues : Lisez attentivement le problème et déterminez les deux quantités que vous cherchez (par exemple, le prix d'un objet, le nombre de personnes, une mesure...). Attribuez-leur des variables, généralement $x$ et $y$.
2. Écrire les deux équations : Cherchez dans l'énoncé deux informations distinctes qui relient ces deux inconnues. Chaque information doit permettre de former une équation.
3. Vérifier la cohérence : Assurez-vous que les unités sont cohérentes et que chaque équation exprime bien une relation donnée par l'énoncé.

Une fois le système d'équations établi, il faut le résoudre en utilisant la méthode de votre choix (substitution ou combinaison linéaire).

Étapes :

1. Résoudre le système : Appliquez les étapes de la méthode choisie pour trouver les valeurs de $x$ et $y$.
2. Interpréter la solution : Les valeurs de $x$ et $y$ obtenues doivent être remises dans le contexte du problème. Que représentent-elles concrètement ?
3. Rédiger la conclusion : Formulez une réponse claire et complète au problème posé, en utilisant les unités appropriées.

Exemple 1 : Problème d'âge "Mon père a 25 ans de plus que moi. Dans 5 ans, il aura le double de mon âge. Quels sont nos âges actuels ?"

1. Inconnues : Soit $x$ l'âge actuel du père et $y$ l'âge actuel de l'enfant.
2. Équations :
   • "Mon père a 25 ans de plus que moi" : $x = y + 25 \quad (1)$
   • "Dans 5 ans, il aura le double de mon âge" : $(x+5) = 2(y+5) \quad (2)$
3. Résolution : Le système est : $$\left\{ \begin{array}{l} x = y + 25 \\ x + 5 = 2y + 10 \end{array} \right.$$ Substituons (1) dans (2) : $(y + 25) + 5 = 2y + 10$ $y + 30 = 2y + 10$ $30 - 10 = 2y - y$ $20 = y$. Donc, l'enfant a 20 ans. Pour trouver $x$, utilisez (1) : $x = 20 + 25 = 45$. Le père a 45 ans.
4. Conclusion : Le père a actuellement 45 ans et l'enfant a 20 ans.

Exemple 2 : Problème de prix et de quantités "J'ai acheté 3 stylos et 2 cahiers pour 11 €. Mon ami a acheté 2 stylos et 4 cahiers pour 14 €. Quel est le prix d'un stylo et d'un cahier ?"

1. Inconnues : Soit $x$ le prix d'un stylo et $y$ le prix d'un cahier (en €).
2. Équations :
   • "J'ai acheté 3 stylos et 2 cahiers pour 11 €" : $3x + 2y = 11 \quad (1)$
   • "Mon ami a acheté 2 stylos et 4 cahiers pour 14 €" : $2x + 4y = 14 \quad (2)$
3. Résolution par combinaison linéaire : Le système est : $$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 11 \\ 2x + 4y = 14 \end{array} \right.$$ Pour éliminer $y$, multiplions (1) par $-2$ : $-2(3x + 2y) = -2(11) \Rightarrow -6x - 4y = -22$. Additionnons cette nouvelle équation avec (2) : $(-6x - 4y) + (2x + 4y) = -22 + 14$ $-4x = -8 \Rightarrow x = 2$. Un stylo coûte 2 €. Substituons $x=2$ dans (1) : $3(2) + 2y = 11 \Rightarrow 6 + 2y = 11 \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = 2,5$. Un cahier coûte 2,50 €.
4. Conclusion : Un stylo coûte 2 € et un cahier coûte 2,50 €. La mise en équation est l'étape la plus cruciale pour la résolution de problèmes.