Transformations du plan : translation, rotation

Une transformation géométrique est une opération qui déplace ou modifie une figure géométrique dans le plan, sans la déformer fondamentalement. Imaginez que vous prenez une forme et que vous la faites glisser, la faites tourner ou la retournez. La figure finale est appelée l'image de la figure initiale.

• Image d'un point : Quand on applique une transformation à un point A, on obtient un nouveau point A', appelé l'image de A.
• Image d'une figure : Pour transformer une figure (comme un triangle ou un carré), on transforme chacun de ses points. L'ensemble des points transformés forme l'image de la figure.
• Transformations usuelles : En 3ème, nous allons étudier la translation et la rotation. La symétrie axiale et la symétrie centrale sont aussi des transformations que vous avez déjà rencontrées.

Les transformations que nous étudions sont dites des isométries. Cela signifie qu'elles conservent certaines propriétés essentielles des figures.

• Conservation des longueurs : La distance entre deux points de la figure initiale est égale à la distance entre leurs images. Si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm.
• Conservation des angles : La mesure d'un angle dans la figure initiale est égale à la mesure de l'angle correspondant dans l'image.
• Conservation des aires : L'aire de la figure initiale est égale à l'aire de son image.
• Conservation de l'alignement : Si des points sont alignés, leurs images le sont aussi.
• Conservation du parallélisme : L'image d'une droite est une droite. L'image de deux droites parallèles est deux droites parallèles.

Pour bien comprendre les transformations, il est utile de se repérer dans le plan.

• Coordonnées cartésiennes : Un point dans le plan est repéré par ses coordonnées $(x; y)$ dans un repère orthonormé.
• Vecteurs de déplacement : Un vecteur représente un déplacement. Il est défini par une direction, un sens et une longueur (ou norme). Par exemple, le vecteur $\vec{u}(x_u; y_u)$ indique un déplacement de $x_u$ unités horizontalement et $y_u$ unités verticalement.
• Points et figures : Une figure est un ensemble de points. Pour appliquer une transformation à une figure, on peut la décomposer en points clés (sommets d'un polygone, centre d'un cercle, etc.) et transformer ces points.

La translation est un déplacement qui "glisse" une figure dans une direction, un sens et d'une certaine longueur, sans la faire tourner. Elle est entièrement définie par un vecteur.

• Définition par un vecteur : La translation qui transforme un point A en un point A' est définie par le vecteur $\vec{AA'}$. Tous les points de la figure se déplacent selon ce même vecteur.
• Sens, direction, longueur : Le vecteur de translation $\vec{u}$ donne la direction (parallèle à $\vec{u}$), le sens (celui de $\vec{u}$) et la longueur (la norme de $\vec{u}$) du déplacement.
• Image d'un point par translation : Si M' est l'image de M par la translation de vecteur $\vec{u}$, alors $\vec{MM'} = \vec{u}$. Cela signifie que le quadrilatère M M'B A' est un parallélogramme si A est le point de départ du vecteur $\vec{u}$ et B son point d'arrivée.

Pour construire l'image d'une figure par translation, on traduit les points clés de cette figure.

• Image d'un segment : L'image du segment [AB] par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le segment [A'B']. Les segments [AB] et [A'B'] sont parallèles et de même longueur.
• Image d'une droite : L'image d'une droite (d) par translation est une droite (d') qui lui est parallèle. Si la droite (d) est parallèle au vecteur de translation, alors (d') est confondue avec (d).
• Image d'un cercle : L'image d'un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O' (image de O par la translation) et de même rayon R.

Si un point M a pour coordonnées $(x; y)$ et le vecteur de translation est $\vec{u}(x_u; y_u)$, alors l'image M' de M aura pour coordonnées : $M'(x'; y')$ avec $x' = x + x_u$ et $y' = y + y_u$.

• Exemple : Soit un point A(2; 3) et un vecteur de translation $\vec{u}(1; -2)$. L'image A' de A aura pour coordonnées : $A'(2+1; 3-2)$, soit $A'(3; 1)$.

Les translations sont omniprésentes.

• Pavages et frises : Elles permettent de créer des motifs répétitifs sur une surface (pavages) ou le long d'une ligne (frises).
• Symétrie glissée : C'est une transformation qui combine une translation et une symétrie axiale.

La rotation est un déplacement qui "tourne" une figure autour d'un point fixe. Elle est définie par trois éléments :

• Centre de rotation (O) : Le point autour duquel la figure tourne. Ce point est le seul qui ne bouge pas.
• Angle de rotation ($\alpha$) : La valeur de l'angle dont la figure tourne.
• Sens de rotation :
  • Sens horaire (ou sens des aiguilles d'une montre) : Souvent considéré comme le sens négatif.
  • Sens anti-horaire (ou sens trigonométrique) : Souvent considéré comme le sens positif. Si le sens n'est pas précisé en 3ème, il est souvent implicitement positif (anti-horaire).

Comme la translation, la rotation est une isométrie.

• Conservation des longueurs et des angles : Les distances et les mesures d'angles sont conservées.
• Image d'un point par rotation : Si M' est l'image de M par une rotation de centre O et d'angle $\alpha$ :
  1. $OM = OM'$ (le point M' est sur le cercle de centre O passant par M).
  2. L'angle $\widehat{MOM'}$ mesure $\alpha$.
• Distance au centre de rotation : Tout point et son image sont à égale distance du centre de rotation.

Pour construire l'image, on tourne les points clés.

• Image d'un segment : L'image du segment [AB] par une rotation de centre O et d'angle $\alpha$ est le segment [A'B']. Les segments [AB] et [A'B'] ont la même longueur.
• Image d'une droite : L'image d'une droite (d) par rotation est une droite (d'). L'angle entre (d) et (d') est souvent l'angle de rotation.
• Image d'un cercle : L'image d'un cercle de centre C et de rayon R est un cercle de centre C' (image de C par la rotation) et de même rayon R.

Certaines rotations sont très courantes :

• Rotation de 180° : C'est une symétrie centrale. Le centre de rotation est alors le centre de symétrie. Pour tout point M, O est le milieu de [MM'].
• Rotation de 90° : Un quart de tour.
• Rotation de 270° : Trois quarts de tour. Une rotation de $270^\circ$ dans un sens équivaut à une rotation de $90^\circ$ dans l'autre sens.

Appliquer deux translations successives revient à effectuer une seule translation. Si une figure est transformée par une translation de vecteur $\vec{u}$, puis son image est transformée par une translation de vecteur $\vec{v}$, alors l'image finale est obtenue par une seule translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.

• Somme de vecteurs : L'ordre des vecteurs n'a pas d'importance : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$.
• Propriétés : La composition de translations conserve les propriétés des translations (isométrie, etc.).

• Rotations de même centre : Si on compose deux rotations de même centre O et d'angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$, le résultat est une rotation de centre O et d'angle $\alpha_1 + \alpha_2$.
• Rotations de centres différents : La composition de deux rotations de centres différents est plus complexe. En général, elle n'est pas une rotation simple, mais peut être une translation ou une rotation. Ce n'est pas au programme de 3ème de manière approfondie.

• Ordre des transformations : L'ordre des transformations est important ! Appliquer une translation puis une rotation n'a généralement pas le même résultat qu'appliquer une rotation puis une translation.
• Effet combiné : Ces compositions créent des mouvements plus complexes. Par exemple, la symétrie glissée est une composition d'une translation et d'une symétrie axiale.

Il est crucial de savoir distinguer les transformations et identifier leurs éléments caractéristiques.

• Distinction translation/rotation :
  • Si la figure "glisse" sans tourner, c'est une translation. Les segments joignant un point à son image sont parallèles.
  • Si la figure "tourne" autour d'un point, c'est une rotation. Il existe un point fixe (le centre) et les distances au centre sont conservées.
• Reconnaître le vecteur de translation : Pour trouver le vecteur, choisissez un point et son image (A et A'). Le vecteur est $\vec{AA'}$.
• Reconnaître le centre et l'angle de rotation :
  • Le centre O est le point équidistant de tout point M et de son image M'. Pour le trouver, on peut tracer les médiatrices des segments [MM'] et [NN'] : elles se coupent en O.
  • L'angle $\alpha$ est l'angle $\widehat{MOM'}$.

Les transformations sont des outils puissants pour résoudre des problèmes de géométrie.

• Démontrer des propriétés de figures : Par exemple, prouver qu'un triangle est isocèle si l'un de ses côtés est l'image d'un autre par une rotation.
• Construire des figures complexes : Utiliser les transformations pour dessiner des motifs réguliers ou des figures avec des relations spécifiques.
• Problèmes de géométrie : Chercher le chemin le plus court en utilisant une symétrie, ou comprendre le mouvement d'objets.

Les transformations sont très utilisées dans l'art et le design.

• Motifs répétitifs : Les frises, les rosaces, les pavages utilisent des translations, des rotations et des symétries pour créer des motifs harmonieux.
• Œuvres d'Escher : L'artiste M.C. Escher est célèbre pour ses œuvres qui exploitent les transformations géométriques pour créer des illusions et des motifs complexes.
• Design et architecture : Les architectes et designers utilisent les transformations pour concevoir des structures, des façades ou des objets avec des répétitions ou des rotations.